数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 極値について / Page: 0]

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■42500 / inTopicNo.1)

　極値について

□投稿者/ ともぞう一般人(1回)-(2010/08/25(Wed) 22:06:41)

f(x,y)=x^2*y^2の極値を求める問題ですが、
xとyで偏微分して、=0となるものは、(x,y)=(0,0)になります。

ところが、
(x, y)=(0, 0) のとき(∂2f/∂x2)(∂2f/∂ｙ2)-( ∂2f/∂x∂y)^2=0となり、
判別式からは極値を持たないことになります。

しかし、
明らかに(x, y)=(0, 0) のとき極小値０を取ると思いますが、
どこが矛盾してますか？

よろしくお願いします。

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■42506 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極値について

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□投稿者/ tokoro 付き人(94回)-(2010/08/26(Thu) 00:57:02)

しばらく手がはなせないので簡単にしか言えないのですが、その判定方法では極値の判定が上手くいかないケースの問題だということです。
計算が間違っていたり、矛盾しているわけではありませんので、その点は心配する必要はありません。
確かに極小値になると思います。
極値に関して検索すると、割とすぐに他の調べ方を見つけられるかもしれません。

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■42518 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 極値について

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□投稿者/ tokoro 付き人(95回)-(2010/08/26(Thu) 23:32:16)

2010/08/27(Fri) 00:46:19 編集(投稿者)
2010/08/26(Thu) 23:35:29 編集(投稿者)

まず、 $2$f(x, \ y) = x^2 y^2$ は、次の関係を満たすので、 $2$x \geq 0, \ y \geq 0$ の範囲だけ調べれば十分です。
$2$f(x, \ y) = f(- x, \ y) = f(x, \ - y) = f(- x, \ - y)$

次に、 $2$x = 0$ 、つまり $2$y$ 軸上で常に $2$f(x, \ y) = 0$ となり、 $2$y = 0$ 、つまり $2$x$ 軸上でも常に $2$f(x, \ y) = 0$ となります。
もちろん、 $2$f(0, \ 0) = 0$ です。

今度は、 $2$x = 1$ と固定してみると、 $2$f(1, \ y) = y^2$ となるので、 $2$f(x, \ y) = z$ の３次元的な構造を $2$x$ 軸の方向から眺めると、 $2$z = 0$ を底とする放物線 $2$z= y^2$ の断面を持つことがわかります。
同様に、 $2$y = 1$ と固定すると、 $2$f(x, \ 1) = x^2$ となるので、 $2$y$ 軸の方向から眺めると、 $2$z = 0$ を底とする放物線 $2$z = x^2$ の断面を持つのがわかります。
つまり、 $2$x$ 軸方向、 $2$y$ 軸方向に沿って、その軸を極小値（最小値）とする放物線の断面を持つ谷が走っていることになります。
（ $2$x = 2$ とすると、 $2$z = 4 y^2$ という放物線になるので、 $2$x$ が増えると急勾配の放物線になっていきます。これはもう１つの軸方向も同じです）

その他、 $2$f(x, \ y) = z = const.$ の等高線がどのようになるかを調べると、
$2$f(x, \ y) = x^2 y^2 = const. \ \to \ y = \sqrt{const.}/x$
という双曲線になるのがわかります。

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■42530 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 極値について

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□投稿者/ ともぞう一般人(2回)-(2010/08/27(Fri) 21:43:58)

ありがとうございます。
私の持っているテキストでは、＝０　の時は何も言及してませんでした。
（極値をもたないとも書いてませんが・・・）
＝０の時は、近傍で数値を代入し、
個別に判別するということにします。

解決済み!

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