数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 微分方程式 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■42481 / inTopicNo.1)

　微分方程式

▼■

□投稿者/ ともお一般人(2回)-(2010/08/22(Sun) 13:51:47)

微分方程式

y" + 2y'+ 5y =xe^-x

の解き方の解説お願いします

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■42484 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分方程式

▲▼■

□投稿者/ tokoro 付き人(90回)-(2010/08/22(Sun) 17:40:16)

2010/08/22(Sun) 17:41:21 編集(投稿者)

まず、右辺をゼロにした、次の同次方程式の解を求めます。
$2$y^{\prime \prime} + 2 y^{\prime} + 5 y = 0$
これは定数係数の線形微分方程式なので、定番の $2$y = e^{\lambda x}$ と置いて $2$\lambda$ を求めることで、
$2$\lambda = - 1 \pm 2 i$
を得るので、解は、
$2$y = e^{- x} \{ C_{1} \cos (2 x) + C_{2} \sin (2 x) }\$
のように求まります。
ここで、 $2$C_{1}, \ C_{2}$ は任意定数です。

次に、右辺の項をゼロとしない、特殊解を求めます。
求め方はいろいろありますが、ここでは $2$y = F(x) e^{- x}$ と仮定して求めます。
$2$y^{\prime} = F^{\prime} e^{- x} - F e^{- x}$
$2$y^{\prime \prime} = F^{\prime \prime} e^{- x} - 2 F^{\prime} e^{- x} + F e^{- x}$
を代入して整理すると、
$2$F^{\prime \prime} + 4 F = x$
という関係を得ます。
２階の微分方程式なので、あとは $2$F(x) = a x^2 + b x + c$ と、２次関数の形を仮定して求めると、
$2$a = c = 0, \ b = 1/4 \ \ \ \to \ \ \ F(x) = x/4$
を得るので、特殊解は、
$2$y = (x/4) e^{- x}$
となります。

一般解は、先に求めた同次方程式の解に今求めた特殊解を加えたものです。
つまり、
$2$y = e^{- x} \{ C_{1} \cos (2 x) + C_{2} \sin (2 x) }\ + (x/4) e^{- x}$
です。
42303でも似たような問題を解いているので、よかったら参考にしてください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター