数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 微分方程式の完全解 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■42469 / inTopicNo.1)

　微分方程式の完全解

▼■

□投稿者/ ともお一般人(1回)-(2010/08/21(Sat) 00:59:31)

4x^2 d^2y/dx^2 -3x dy/dx -15y = 0　の微分方程式の完全解を

x=exp(z)とおいて変数変換を行うこと。

詳しく解説お願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■42471 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分方程式の完全解

▲▼■

□投稿者/ tokoro 付き人(83回)-(2010/08/21(Sat) 09:16:59)

2010/08/21(Sat) 16:25:49 編集(投稿者)

変数変換 $2$x = e^z$ を行なえ、ということなので、
$2$\frac{d y}{dx} = \frac{d z}{dx} \frac{d y}{dz} = e^{(- z)} \frac{d y}{dz}$
$2$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \Bigl ( \frac{d y}{dx} \Bigr ) = \frac{d z}{dx} \frac{d}{dz} \Bigl ( e^{(- z)} \frac{d y}{dz} \Bigr ) = e^{(- z)} \Bigl \{ - e^{(- z)} \frac{d y}{dz} + e^{(- z)} \frac{d^2 y}{dz^2} \Bigr \} = e^{(- 2 z)} \Bigl \{ \frac{d^2 y}{dz^2} - \frac{d y}{dz} \Bigr \}$
という関係が得られます。

元の微分方程式を $2$x = e^z$ を使って書き直すと、
$2$4 e^{(2 z)} \cdot e^{(- 2 z)} \Bigl \{ \frac{d^2 y}{dz^2} - \frac{d y}{dz} \Bigr \} - 3 e^{z} \cdot e^{(- z)} \frac{d y}{dz} - 15 y = 0 \ \ \ \to \ \ \ 4 \frac{d^2 y}{dz^2} - 7 \frac{d y}{dz} - 15 y = 0$
となります。

これは定数係数の線形微分方程式なので、 $2$y = e^{\lambda z}$ として $2$\lambda$ を求めると、
$2$4 \lambda^2 - 7 \lambda - 15 = (4 \lambda + 5) (\lambda - 3) = 0 \ \ \ \to \ \ \ \lambda = - \frac{5}{4} \ , \ 3$
となり、解は $2$C_{1}, \ C_{2}$ を任意定数として、
$2$y = C_{1} e^{(- 5 z/4)} + C_{2} e^{(3 z)}$
となります。
あとはこれを $2$x$ の式で書き換えます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター