数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 楕円面 / Page: 0]

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■42429 / inTopicNo.1)

　楕円面

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□投稿者/ ななし一般人(1回)-(2010/08/17(Tue) 17:15:25)

aが正の定数の時、
$2$3(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)=a$
は楕円面であると言われましたが、形からはよくわかりませんでした。

どのように変形すればよいのでしょう？

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■42432 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 楕円面

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□投稿者/ tokoro 付き人(75回)-(2010/08/17(Tue) 18:31:44)

2010/08/17(Tue) 18:36:46 編集(投稿者)
2010/08/17(Tue) 18:33:02 編集(投稿者)

$2$3(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + zx) = a$ は、次のような行列を使った２次形式という形に表すことができます。

$2$ \left ( \begin{array}{c} x & y & z \\ \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right ) = a$

ここで、列ベクトルを $2$X = (x, \ y, \ z)$ 、真ん中の行列を $2$M$ とすると、この式は、
$2${}^{t} X M X = a$
と表されます。
この真ん中の行列 $2$M$ は対称行列なので、必ず対角行列にできることが保障されています。（これについては、線形代数の教科書をご覧ください）
実際、 $2$M$ の固有値を求めると、
$2$ \left | \begin{array}{ccc} (\lambda - 3) & - 1 & - 1 \\ - 1 & (\lambda - 3) & - 1 \\ - 1 & - 1 & (\lambda - 3) \\ \end{array} \right | = (\lambda - 4) (\lambda - 3) (\lambda - 2) = 0$
より、すべて正の固有値、 $2$\lambda = 4, \ 3, \ 2$ となります。
これら３つの固有値に対する固有ベクトルを並べた行列 $2$U$ を使って $2$X = U Y$ とすると、
$2${}^{t}(U Y) M (U Y) = {}^{t} Y \{ {}^{t} U M U \} Y = {}^{t} Y \Lambda Y = a$
という形に書くことができます。
ここで、 $2$\Lambda = {}^{t} U M U$ の関係があります。
対角行列 $2$\Lambda$ は、固有値の大きい順に並べたものとすると、この問題では、 $2$\Lambda = diag(4, \ 3, \ 2)$ となります。
つまり、 $2$Y = (\xi, \ \eta, \ \zeta)$ とすると、
$2$ \left ( \begin{array}{c} \xi & \eta & \zeta \\ \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} \xi \\ \eta \\ \zeta \\ \end{array} \right ) = 4 \xi^2 + 3 \eta^2 + 2 \zeta^2 = a$
という形で表されるわけですが、これは楕円の式（ $2$X^2/a^2 + Y^2/b^2 = 1$ ）を３次元に拡張したものになっていることがわかると思います。

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■42433 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 楕円面

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□投稿者/ ななし一般人(3回)-(2010/08/17(Tue) 19:15:44)

> $2${}^{t}(U Y) M (U Y) = {}^{t} Y \{ {}^{t} U M U \} Y = {}^{t} Y \Lambda Y = a$
> という形に書くことができます。
> ここで、 $2$\Lambda = {}^{t} U M U$ の関係があります。

返信ありがとうございます。

質問なのですが、 $2${}^{t}(U Y)$ は $2$U Y$ の転置行列ですよね？
$2${}^{t} U M U$ が対角行列となると言えるのでしょうか？
対角行列になるのは $2$U^{-1} M U$ じゃないのですか？

質問が多くてすみませんがお願いします。

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■42434 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 楕円面

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□投稿者/ tokoro 付き人(76回)-(2010/08/17(Tue) 22:10:23)

まず、先の計算が間違っていたので訂正を。
固有値は正しくは、 $2$\lambda = 5, \ 2, \ 2$ ですね。
つまり、 $2$\Lambda = diag(5, \ 2, \ 2)$ です。

以下、ご質問についてですが、
行列の中には、逆行列が元の行列の転置の場合があります。
対称行列を対角化する際の行列は、そのような行列になります。

例えば、転置行列が逆行列になる例としては、次の回転行列などもそうです。
$2$ R_{z} = \left ( \begin{array}{ccc} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right ) \ \ \ \to \ \ \ R_{z}^{- 1} = {}^{t} R_{z}$

とにかく、線形代数の教科書をご覧ください。

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■42436 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 楕円面

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□投稿者/ ななし一般人(4回)-(2010/08/17(Tue) 23:47:40)

回答ありがとうございます。（線形代数のテキストは見てます。）

$2$\lambda = 2$ に対して、固有ベクトルは、
$2$\left ( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ \end{array} \right ),\left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array} \right )$

$2$\lambda = 5$ に対して、固有ベクトルは、
$2$\left ( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right )$
と求められました。

あとはこれらを直交化することで、転置行列が逆行列と等しい「直交行列」が求められるということですね。
ありがとうございました。

解決済み!

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