数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: ペル？方程式 / Page: 0]

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■42420 / inTopicNo.1)

　ペル？方程式

□投稿者/ sasami 一般人(1回)-(2010/08/15(Sun) 19:32:39)

x^2-3y^4=1を満たす正整数解を求めよ
という問題なのですが
(x､y)=(2,1)､(7,2)は発見しました。
しかし、他にも解が存在するか、解はこの二つのみか
という証明ができません。

自分はペル方程式にみたてて考えたのですが全く上手くいきませんでした。

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■42423 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ペル？方程式

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□投稿者/ tokoro 付き人(73回)-(2010/08/16(Mon) 10:00:37)

$2$x^2 - 3 y^4 = 1$ は書き直すと、
$2$x(y) = \sqrt{3 y^4 + 1}$
となるので、 $2$y > 0$ をパラメーターにして、整数になる $2$x$ を探す方法も考えられます。
既に得られている結果、 $2$(x, \ y) = (2, \ 1), \ (7, \ 2)$ は、確かにこのグラフ上にあり、 $2$x, \ y$ の値は相当大きくなりそうですが、一応、他にも存在しそうです。

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■42425 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ペル？方程式

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□投稿者/ らすかる大御所(866回)-(2010/08/16(Mon) 13:01:01)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞tokoroさん
他には存在しないらしいですよ。
↓参考
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/kadai2/kadai125a.htm

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■42427 / inTopicNo.4)

　Re[3]: ペル？方程式

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□投稿者/ tokoro 付き人(74回)-(2010/08/16(Mon) 16:27:19)

2010/08/16(Mon) 16:40:44 編集(投稿者)
2010/08/16(Mon) 16:39:56 編集(投稿者)

らすかるさん、参考サイト、ありがとうございます。

$2$x(y) = \sqrt{3 y^4 + 1}$
というグラフは、一応、 $2$y$ に上限が一切ないので、あと少しはあるかな？と思いました。
$2$y$ を５０ぐらいまで変化させて計算しても、まったく出てこなかったので、あるとすれば相当大きな数かと思っていました。
これ以上解がないことがはっきりしているようなので、これで解決ですね。

追記

$2$y \gg 1$ とすると、ルートの中の１を無視した近似では、
$2$x(y) = \sqrt{3 y^4} = \sqrt{3} y^2$
なので、 $2$\sqrt{3}$ が存在することで、やはり解はこれ以上なさそうですね。

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