数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 行列 / Page: 0]

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■42390 / inTopicNo.1)

　行列

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□投稿者/ みの一般人(1回)-(2010/08/14(Sat) 21:47:58)

http://www.mech.tohoku.ac.jp/examination/grad/pdf/Problem2009.pdfの数学
Ａの大問3の行列の問題が解けません。
どうやればいいのでしょうか

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■42404 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 行列

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□投稿者/ tokoro 付き人(70回)-(2010/08/15(Sun) 08:11:40)

2010/08/15(Sun) 08:17:03 編集(投稿者)
2010/08/15(Sun) 08:15:40 編集(投稿者)
2010/08/15(Sun) 08:12:34 編集(投稿者)

(1)
固有値を $2$\lambda$ とすると、次の行列式を解いて求めますが、余因子展開を使います。

$2$ \left | \begin{array}{ccc} (\lambda - a) & - b & 0 \\ - b & (\lambda - a) & - b \\ 0 & - b & (\lambda - a) \\ \end{array} \right | = (\lambda - a) \left | \begin{array}{cc} (\lambda - a) & - b \\ - b & (\lambda - a) \\ \end{array} \right | - (- b) \left | \begin{array}{cc} - b & - b \\ 0 & (\lambda - a) \\ \end{array} \right |$
$2$ = (\lambda - a) \{ (\lambda - a)^2 - b^2 \} + b \{ - b (\lambda - a) \} = (\lambda - a) \{ (\lambda - a) + \sqrt{2} b \} \{ (\lambda - a) - \sqrt{2} b \} = 0$

これより、
$2$\lambda = a + \sqrt{2} b, \ a, \ a - \sqrt{2} b$
と求まります。
（この順に $2$\lambda$ を、 $2$\lambda_{1}, \ \lambda_{2}, \ \lambda_{3}$ とします）

(2)
まず、(1)の固有値に対する固有ベクトルを求める（以下、固有ベクトルの成分を $2$(u_{1}, \ u_{2}, \ u_{3})$ と表します）と、
$2$\lambda = a + \sqrt{2} b$ の場合、
$2$ \left ( \begin{array}{ccc} \sqrt{2} b & - b & 0 \\ - b & \sqrt{2} b & - b \\ 0 & - b & \sqrt{2} b \\ \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right )$
となるので、これから、
$2$U_{1} = (u_{1}, \ u_{2}, \ u_{3}) = (1, \ sqrt{2}, \ 1)$
と求まります。
（正確に求まるということではなく、固有ベクトルの成分の比が求まるわけですが、それで問題ありません）

同様に、 $2$\lambda = a$ の場合、
$2$ \left ( \begin{array}{ccc} 0 & - b & 0 \\ - b & 0 & - b \\ 0 & - b & 0 \\ \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right )$
より、 $2$u_{2} = 0$ だけは確定して、
$2$U_{2} = (u_{1}, \ u_{2}, \ u_{3}) = (1, \ 0, \ - 1)$
と求まります。

同様に、 $2$\lambda = a - \sqrt{2} b$ の場合、
$2$ \left ( \begin{array}{ccc} - \sqrt{2} b & - b & 0 \\ - b & - \sqrt{2} b & - b \\ 0 & - b & - \sqrt{2} b \\ \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right )$
となるので、これから、
$2$U_{3} = (u_{1}, \ u_{2}, \ u_{3}) = (1, \ - sqrt{2}, \ 1)$
と求まります。

以上で３つの固有ベクトル $2$U_{1}, \ U_{2}, \ U_{3}$ が求まりましたが、これらは $2$\lambda_{1}, \ \lambda_{2}, \ \lambda_{3}$ と、次の関係があります。
$2$A U_{i} = \lambda_{i} U_{i} \ , \ i = 1, \ 2, \ 3$

この関係を並べて書くと、
$2$A (U_{1} \ U_{2} \ U_{3}) = (U_{1} \ U_{2} \ U_{3}) diag(\lambda_{1}, \ \lambda_{2}, \ \lambda_{3})$
となります。
ここで、 $2$diag$ は対角行列を意味し、 $2$(U_{1} \ U_{2} \ U_{3})$ は、固有ベクトルを３つ並べた行列を意味します。
この行列を $2$U$ と表し、対角行列を $2$\Lambda$ と表すと、
$2$A U = U \Lambda$
となります。
この $2$U$ の逆行列を $2$U^{- 1}$ とすると、 $2$A = U \Lambda U^{- 1}$ となります。
よって、
$2$A^{n} = (U \Lambda U^{- 1}) (U \Lambda U^{- 1}) \cdots (U \Lambda U^{- 1}) = U (\Lambda)^{n} U^{- 1}$
となります。
対角行列 $2$\Lambda$ の $2$n$ 乗は、対角成分を $2$n$ 乗にすればいいだけですから、簡単に求まります。
つまり、 $2$U$ の逆行列さえ求めれば、あとの計算はできるはずです。
（念のため、きちんと検算してください。間違いがあるかもしれないので）

(3)
行列 $2$B$ は、ほとんどの成分がゼロですから、素直に余因子展開していけば、比較的簡単に答が得られると思います。

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■42407 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 行列

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□投稿者/ ボンぺリオ一般人(1回)-(2010/08/15(Sun) 10:21:27)