数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 指数関数 / Page: 0]

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■42383 / inTopicNo.1)

　指数関数

□投稿者/ みー付き人(97回)-(2010/08/14(Sat) 05:58:26)

問題と解答は画像のとおりです。
解答最後から２行目に　「または」　と
ありますが、どっちかが成り立てばいいのですか？
片方だけでは不等式が成り立たないような気が
するのですが、なんとなくそんな気がするだけで
よくわかりません。
よろしくお願いします。

421×350 => 250×207

12.jpg/21KB

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■42384 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 指数関数

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□投稿者/ tokoro 付き人(64回)-(2010/08/14(Sat) 09:12:19)

> 解答最後から２行目に　「または」　とありますが、どっちかが成り立てばいいのですか？

画像の解答には、「または」の言葉が見当たらないのですが・・・

答としては、解答の通りです。不等式を満たす範囲が３つあるということです。
この問題は、むしろ普通に三角関数の $2$\tan \theta$ のグラフから読み取れば、疑問の余地無く解答の通りというのがわかるはずです。
$2$y(\theta) = \tan \theta$ のグラフは、教科書にも載っていると思います。
$2$0 \leq \theta < 2 \pi$ の範囲では、 $2$\theta = \pi/2$ と $2$\theta = 3 \pi/2$ で、グラフが不連続になります。
グラフが不連続になるから、不等式を満たす範囲が複数（この問題では３つ）に分かれてしまうのです。

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■42440 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 指数関数

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□投稿者/ みー付き人(98回)-(2010/08/18(Wed) 20:53:38)

ＵＰ画像を間違えていました(><)
これはこれで未解決だったのでtokoroさんの
おかげで理解できました。ありがとうございます。

本当に載せたかった画像はこちらです。
申し訳ありません。

309×367 => 211×250

13.jpg/21KB

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■42441 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 指数関数

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□投稿者/ らすかる大御所(869回)-(2010/08/18(Wed) 20:59:04)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

どっちかが成り立てば良いのです。
(x-1)(x-1/3)＞0 → x＞1 または x＜1/3 ですね。

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■42442 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 指数関数

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□投稿者/ tokoro 付き人(77回)-(2010/08/18(Wed) 23:12:51)

2010/08/19(Thu) 08:46:51 編集(投稿者)
2010/08/19(Thu) 00:08:38 編集(投稿者)
2010/08/18(Wed) 23:16:47 編集(投稿者)

らすかるさんが既に回答してくれていますが、若干の補足を。
この問題は、 $2$\Bigl ( \frac{1}{3} \Bigr )^{x} = X$ とおくと、
$2$X^2 - \frac{4}{3} X + \frac{1}{3} > 0$
という、２次関数に関する不等式の問題に書き直すことができます。
つまり、
$2$X^2 - \frac{4}{3} X + \frac{1}{3} = (X - \frac{1}{3}) (X - 1) > 0$
という問題です。
この２次関数は、 $2$X = \frac{1}{3}$ と $2$X = 1$ で $2$X$ 軸と交わる下に凸の関数ですから、この２次関数が正になる範囲は、 $2$X = \frac{1}{3}$ より小さい範囲と $2$X = 1$ より大きい範囲の２つの範囲があり、どちらか一方であればいいわけです。
それが解答では「または」という言葉で表されているわけです。（らすかるさんの回答も同じです）
あとは、 $2$X = y(x) = \Bigl( \frac{1}{3} \Bigr )^{x}$ というグラフで考えると、解答の通り、 $2$x < 0$ または $2$x > 1$ の範囲ということになります。
$2$X = y(x) = \Bigl( \frac{1}{3} \Bigr )^{x}$ は、 $2$x = 0$ で $2$X = 1$ 、 $2$x = 1$ で $2$X = \frac{1}{3}$ となる、単調に減少する関数です。
これは、 $2$y(x) = 3^{x}$ という関数（単調に増加する）とは増減の仕方が逆の関数です。
一般的には、 $2$y = a^{x}, \ a > 0, \ a \ne 1$ というのが指数関数ですが、 $2$0 < a < 1$ と $2$a > 1$ で関数の形が違います。
この違いは教科書にも載っているはずなので、きちんと確認してください。

（追記）

$2$(X - \frac{1}{3}) (X - 1) > 0$ という不等式は、 $2$X$ の２次関数が正になる範囲という幾何学的判断を使わず、次のように考えても同じです。
この不等式が成り立つためには、
$2$(X - \frac{1}{3}) > 0 \ \ \$ かつ $2$ \ \ \ (X - 1) > 0$
　　　　　　　　　　　または
$2$(X - \frac{1}{3}) < 0 \ \ \$ かつ $2$ \ \ \ (X - 1) < 0$
の２通りが考えられます。
第１の関係からは、 $2$X > 1$ が得られ、第２の関係からは、 $2$X < \frac{1}{3}$ が得られます。

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■42451 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 指数関数

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□投稿者/ みー付き人(99回)-(2010/08/19(Thu) 20:45:28)

先にtokoro様、らすかる様、また、
私の質問に回答していただいた皆様に失礼をお詫びしたいと思います。

私は今回の投稿で、最初に間違えた画像を投稿してしまいました。
tokoro様のご指摘で気づき、その後正しい画像を投稿したのですが、
その際に間違えた画像についてtokoro様に回答していただいていたので
「これはこれで未解決だったのでtokoroさんの
おかげで理解できました。ありがとうございます。」と
言ってしまったのですが、実はこの画像はすでに他サイト様(リュケイオン「高校数学質問掲示板」様)で
質問済で、農場長先生様という方にお答えいただいており、
本当は解決していたのです。

ですが、tokoro様にすでに回答していただいていたのに
そのことを言うのが申し訳なくて、嘘をついてしまいました。

その後にリュケイオンの管理者様からマルチポスト状態であるということを
気づかせていただき、さらにこちらのサイト様では、新しい質問について
tokoro様とらすかる様に回答していただいているのを見て、
今まで自分がとった行動がどんなに
何も考えていなくその場を取り繕うためだけの行動だったかが身に染みました。

今後は投稿ミスがないよう、また、回答してくださった方々に
失礼のないように努めて参りたいと思います。
大変申し訳ありませんでした。

指数関数の件ですが、tokoro様とらすかる様の解説のおかげで
とてもすっきりと理解することができました。
２次関数のように考えれば簡単なのですね。
ありがとうございました。

解決済み!

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