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■42365 / inTopicNo.1)

　線形代数の問題です。

□投稿者/ momo 一般人(1回)-(2010/08/12(Thu) 15:40:14)

A= $2$ \left( {\begin{array} 1 & 0 & 3 & 1 & 5 \\ 7 & 7 & 35 & 8 &45 \\ 1 & 2 & 7 & 1 & 7 \\ 7 & 7 & 35 & 6 & 39 \end{array}} \right)$

を用いて、線形写像f:Ｒ^5→Ｒ^4を

　　　　　　　　f(v)=Av、　　v∈Ｒ^5

によって定義する。このときfの像Imfの正規直交基底を求めよ。

ですが、どのように考えたらいいのかわかりません。すいません、教えてください。

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■42370 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 線形代数の問題です。

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□投稿者/ tokoro 付き人(63回)-(2010/08/13(Fri) 00:51:19)

2010/08/13(Fri) 00:56:33 編集(投稿者)

まず、像 $2$Im \ f$ の階数を求めると、これは表現行列 $2$A$ の階数と同じであり、階数は基本変形を施して求めます。（行基本変形）
$2$ \left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 5 \\ 7 & 7 & 35 & 8 & 45 \\ 1 & 2 & 7 & 1 & 7 \\ 7 & 7 & 35 & 6 & 39 \\ \end{array} \right ) \ \to \ \left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 5 \\ (7 - 7) & (7 - 0) & (35 - 21) & (8 - 7) & (45 - 35) \\ (1 - 1) & (2 - 0) & (7 - 3) & (1 - 1) & (7 - 5) \\ (7 - 7) & (7 - 0) & (35 - 21) & (6 - 7) & (39 - 35) \\ \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & 7 & 14 & 1 & 10 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & 2 \\ 0 & 7 & 14 & - 1 & 4 \\ \end{array} \right )$
$2$ \to \ \left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 1/7 & 10/7 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & - 1/7 & 4/7 \\ \end{array} \right ) \ \to \ \left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 1/7 & 10/7 \\ 0 & (2 - 2) & (4 - 4) & (0 - 2/7) & (2 - 20/7) \\ 0 & (1 - 1) & (2 - 2) & (- 1/7 - 1/7) & (4/7 - 10/7) \\ \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 1/7 & 10/7 \\ 0 & 0 & 0 & - 2/7 & - 6/7 \\ 0 & 0 & 0 & - 2/7 & - 6/7 \\ \end{array} \right ) \ \to \ \left ( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 1/7 & 10/7 \\ 0 & 0 & 0 & - 2/7 & - 6/7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right )$
より、階数は３なので、３つの基底が選べます。

表現行列 $2$A$ から基底として、次の３つを元に、グラム・シュミットの方法で正規直交基底を作ります。
$2$u_{1} = (1, \ 7, \ 1, \ 7), \ u_{2} = (0, \ 7, \ 2, \ 7), \ u_{3} = (5, \ 45, \ 7, \ 39)$

まず、 $2$u_{1}$ を正規化すると、
$2$e_{1} = \frac{1}{10} (1, \ 7, \ 1, \ 7)$
となります。

次に、 $2$u_{2}$ の $2$e_{1}$ に直交する部分を作ると、
$2$U_{2} = u_{2} - (u_{2} \cdot e_{1}) e_{1} = (- 1, \ 0, \ 1, \ 0)$
となるので、これを正規化すると、
$2$e_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (- 1, \ 0, \ 1, \ 0)$
となります。

同様に、 $2$u_{3}$ の $2$e_{1}$ と $2$e_{2}$ の両方に直交する部分を作ると、
$2$U_{3} = u_{3} - \{ (u_{3} \cdot e_{1}) e_{1} + (u_{3} \cdot e_{2}) e_{2} \} = (0, \ 3, \ 0 \ - 3)$
となるので、これを正規化すると、
$2$e_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} (0, \ 1, \ 0, \ - 1)$
となります。

この３つ、 $2$e_{1}, \ e_{2}, \ e_{3}$ が正規直交基底です。

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■42371 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 線形代数の問題です。

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□投稿者/ momo 一般人(3回)-(2010/08/13(Fri) 08:17:45)

丁寧な解説ありがとうございます。助かりました。

解決済み!

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