数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 大分大学　過去問　二項定理 / Page: 0]

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■42335 / inTopicNo.1)

　大分大学　過去問　二項定理

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□投稿者/ ギャン一般人(1回)-(2010/08/10(Tue) 11:29:58)

（1）（x+1/x）のn乗の展開式に、定数項が含まれるためのnの条件
（2）（x+1+1/x）の7乗の展開式における定数項を求めよ
この２題がいくら考えてもわかりません。教えてください；；

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■42337 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 大分大学　過去問　二項定理

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□投稿者/ tokoro 付き人(56回)-(2010/08/10(Tue) 17:14:30)

2010/08/10(Tue) 17:47:34 編集(投稿者)

(1)
素直に２項展開すると、
$2$\Bigl ( x + \frac{1}{x} \Bigr )^{n} = \sum_{k = 0}^{n} {}_{n} C_{k} x^{n - k} \Bigl ( \frac{1}{x} \Bigr )^{k} = \sum_{k = 0}^{n} {}_{n} C_{k} x^{n - 2 k}$
となるので、定数項の条件は、
$2$n - 2 k = 0 \ \ \ \to \ \ \ n = 2 k$
となります。
ここで、 $2$\Bigl ( \frac{1}{x} \Bigr )^{k} = x^{- k}$ を使いました。
$2$k$ は偶数でも奇数でもかまわず、０から $2$n$ まで変化するので、 $2$n = 2 k$ ということは、 $2$n$ は偶数ということになります。

(2)
$2$x + 1 = t$ とすると、
$2$S = \Bigl ( x + 1 + \frac{1}{x} \Bigr )^{7} = \sum_{k = 0}^{7} {}_{7} C_{k} t^{(7 - k)} \Bigl ( \frac{1}{x} \Bigr )^{k} = \sum_{k - 0}^{7} {}_{7} C_{k} ( 1 + x )^{(7 - k)} x^{(- k)}$
となりますが、
$2$( 1 + x )^{(7 - k)} = \sum_{\ell = 0}^{(7 - k)} {}_{(7 - k)} C_{\ell} x^{\ell}$
なので、
$2$S = \sum_{k = 0}^{7} {}_{7} C_{k} \sum_{\ell = 0}^{(7 - k)} {}_{(7 - k)} C_{\ell} x^{(\ell - k)}$
となります。
定数項は、 $2$\ell - k = 0$ の場合なので、 $2$\ell = k$ ということになります。
展開係数は、
$2${}_{7} C_{k} \cdot {}_{(7 - k)} C_{\ell}$
で与えられるので、 $2$\ell = k$ の場合、
$2${}_{7} C_{k} \cdot {}_{(7 - k)} C_{k} = (7 !)/\{ (k !) (k !) (7 - 2 k) ! \}$
となります。
$2$7 - 2 k \geq 0$ のためには、 $2$k = 0, \ 1, \ 2, \ 3$ の場合なので、これらの場合の和が定数項になります。
これから答は、 $2$1 + 42 + 210 + 140 = 393$ と求まります。

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■42341 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 大分大学　過去問　二項定理

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□投稿者/ ギャン一般人(3回)-(2010/08/10(Tue) 20:02:35)

詳しく解説してくださってありがとうございます。
とてもわかりやすいんですけど最後のほうの
7Ck×7-kClの計算がわかりませんでした；；
すいません；；

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■42343 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 大分大学　過去問　二項定理

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□投稿者/ tokoro 付き人(59回)-(2010/08/10(Tue) 21:36:55)

わからないのは、この部分のことでしょうか？

$2${}_{7} C_{k} \cdot {}_{(7 - k)} C_{k} = \frac{7 !}{(k !) (7 - k)!} \cdot \frac{(7 - k)!}{(k !) (7 - k - k)!} = \frac{7 !}{(k !) (k !) (7 - 2 k)!}$

単に、 $2${}_{m} C_{n} = \frac{m !}{(n !) (m - n)!}$ を使っているだけです。

$2$k = 0 \ : \ \frac{7 !}{(0 !) (0 !) (7 !)} = 1 \ \ \ , \ \ \ (0 ! = 1)$
$2$k = 1 \ : \ \frac{7 !}{(1 !) (1 !) (5 !)} = 7 \times 6 = 42$
$2$k = 2 \ : \ \frac{7 !}{(2 !) (2 !) (3 !)} = 7 \times 6 \times 5 = 210$
$2$k = 3 \ : \ \frac{7 !}{(3 !) (3 !) (1 !)} = 7 \times 5 \times 4 = 140$

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■42345 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 大分大学　過去問　二項定理

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□投稿者/ ギャン一般人(5回)-(2010/08/11(Wed) 09:51:33)

分かりました！！　詳しくありがとうございます！！

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