数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 次の式の微分方程式の一般解の求め方 / Page: 0]

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■42303 / inTopicNo.1)

　次の式の微分方程式の一般解の求め方

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□投稿者/ ねこ一般人(1回)-(2010/08/04(Wed) 21:33:29)

y''+2y'+5y=xe^(-0.5x)の一般解の求め方を教えて下さい。

できるだけ詳しくお願いします。

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■42305 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 次の式の微分方程式の一般解の求め方

▲▼■

□投稿者/ tokoro 付き人(51回)-(2010/08/04(Wed) 23:25:44)

2010/08/05(Thu) 00:10:34 編集(投稿者)
2010/08/04(Wed) 23:29:39 編集(投稿者)

この微分方程式の同次方程式は、次のようになります。
$2$y^{\prime \prime} + 2 y^{\prime} + 5 y = 0$

まず、これを解くと、 $2$y = e^{\lambda x}$ と解を仮定して代入すると、
$2$(\lambda^2 + 2 \lambda + 5) e^{\lambda x} = 0$
となるので、結局、
$2$\lambda^2 + 2 \lambda + 5 = 0$
という代数方程式を解くことになります。
これは２次方程式の解の公式より、
$2$\lambda = - 1 \pm 2 i$
となるので、任意定数を $2$C_{1}, \ C_{2}$ として、
$2$y = C_{1} e^{(- 1 + 2 i) x} + C_{2} e^{(- 1 - 2 i) x}$
となります。
これでいいのですが、オイラーの公式、 $2$e^{\pm i x} = \cos x \pm i \sin x$
を使えば、 $2$A, \ B$ を任意定数として、
$2$y = e^{- x} (A \cos 2 x + B \sin 2 x)$
と書くこともできます。

以上は同次方程式の解ですが、一般解は、これに特殊解を加えたものになります。
この特殊解は、次のように求めることができます。
$2$y = F(x) e^{m x} \ , \ m = - 0.5$
とすると、
$2$y^{\prime} = F^{\prime} e^{m x} + m F e^{m x}$
$2$y^{\prime \prime} = F^{\prime \prime} e^{m x} + 2 m F^{\prime} e^{m x} + m^2 F e^{m x}$
なので、元の式に代入すると、
$2$\Bigl [ F^{\prime \prime} + 2 (m + 1) F^{\prime} + (m^2 + 2 m + 5) F \Bigr ] e^{m x} = x e^{m x}$
となります。
両辺で $2$e^{m x}$ は共通なので、
$2$F^{\prime \prime} + 2 (m + 1) F^{\prime} + (m^2 + 2 m + 5) F = x$
が成り立てばいいことになります。
$2$m = - 0.5$ に注意すると、結局、
$2$F^{\prime \prime} + F^{\prime} + \frac{17}{4} F = x$
となります。
ここでは２階の微分方程式の解を求めようとしているので、関数 $2$F(x)$ は高々２次の関数になるので、
$2$F(x) = a x^2 + b x + c$
と仮定して、 $2$a, \ b, \ c$ を求めると、
$2$F^{\prime} = 2 a x + b$
$2$F^{\prime \prime} = 2 a$
なので、
$2$2 a + (2 a x + b) + \frac{17}{4} (a x^2 + b x + c) = x$
より、
$2$17 a x^2 + (17 b + 8 a) x + (8 a + 4 b + 17 c) = 4 x$
から、
$2$17 a = 0, \ 17 b + 8 a = 4, \ 8 a + 4 b + 17 c = 0$
を解いて、
$2$a = 0, \ b = 4/17, \ c = - (4/17)^2$
を得ます。
つまり、
$2$F(x) = \{ (4/17) x - (4/17)^2 \} \ , \ y = \{ (4/17) x - (4/17)^2 \} e^{(- 0.5 x)}$
となります。

よって一般解は、先の同次方程式の解と今求めた特殊解の和として、
$2$y = e^{- x} (A \cos 2 x + B \sin 2 x) + \{ (4/17) x - (4/17)^2 \} e^{(- 0.5 x)}$
となります。
（やり方はこれでいいはずですが、１回しか計算していないので、間違いがあるかもしれません）

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