数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}の極限値を求める問題 / Page: 0]

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■42273 / inTopicNo.1)

　lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}の極限値を求める問題

□投稿者/ じゅんいち一般人(1回)-(2010/08/02(Mon) 13:43:35)

私は
lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}
=lim[x→0][{(sinx)^2-x^2}/x^2(sinx)^2]
=lim[x→0]{(sinx+x)(sinx-x)/x^2(sinx)^2}から、
・{(sin(x)+x)/x}{(sin(x)-x)/x^3}{x^2/sin^2(x)}・・・(1)
または、
・{(sin(x)-x)/x}{(sin(x)+x)/x^3}{x^2/sin^2(x)}・・・(2)
の２通りの展開が考えられ、、(1)、(2)の第２項の極限はロピタルの定理より、1/6となり、(1)、(2)の第３項の極限は１となりますが、(1)の第１項の極限は２、(2)の第１項の極限は０となります。
ここで、、(1)、(2)の第１項の極限値の違いにより、解が異なるのですがどのように考えれば良いのでしょうか？
お手数おかけ致しますが、アドバイスいただければと思います。宜しくお願い致します。

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■42274 / inTopicNo.2)

　Re[1]: lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}の極限値を求める問題

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□投稿者/ だるまにおんベテラン(230回)-(2010/08/02(Mon) 14:58:10)

(2)の第２項の極限は1/6となりません。

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■42276 / inTopicNo.3)

　Re[1]: lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}の極限値を求める問題

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□投稿者/ らすかる大御所(854回)-(2010/08/02(Mon) 15:00:26)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

(1)の第２項の極限も1/6となりません。

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■42281 / inTopicNo.4)

　Re[2]: lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}の極限値を求める問題

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□投稿者/ じゅんいち一般人(3回)-(2010/08/02(Mon) 16:44:43)

■No42274に返信(だるまにおんさんの記事)
> (2)の第２項の極限は1/6となりません。

失礼致しました。(1),(2)の第２項の極限は両方とも-1/6になります。
それでも、、(1)、(2)の第１項の極限値の違いにより、解が異なるのですがどのように考えれば良いのでしょうか？

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■42282 / inTopicNo.5)

　Re[2]: lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}の極限値を求める問題

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□投稿者/ じゅんいち一般人(4回)-(2010/08/02(Mon) 16:45:29)

■No42276に返信(らすかるさんの記事)
> (1)の第２項の極限も1/6となりません。

失礼致しました。(1),(2)の第２項の極限は両方とも-1/6になります。
それでも、、(1)、(2)の第１項の極限値の違いにより、解が異なるのですがどのように考えれば良いのでしょうか？

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■42283 / inTopicNo.6)

　Re[3]: lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}の極限値を求める問題

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□投稿者/ だるまにおんベテラン(231回)-(2010/08/02(Mon) 16:54:46)

(2)の第２項の極限は -1/6 にもなりません。

ロピタルの定理を間違って使っているのか、
あるいは、計算ミスのようｊな単純な勘違いかわかりませんが、
もういちど、注意深く計算してみてください。

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■42284 / inTopicNo.7)

　Re[4]: lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}の極限値を求める問題

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□投稿者/ じゅんいち一般人(6回)-(2010/08/02(Mon) 17:14:22)

■No42283に返信(だるまにおんさんの記事)
> (2)の第２項の極限は -1/6 にもなりません。
>
> ロピタルの定理を間違って使っているのか、
> あるいは、計算ミスのようｊな単純な勘違いかわかりませんが、
> もういちど、注意深く計算してみてください。

私は(1)の第２項の極限をロピタルの定理より
{(sin(x)-x)/x^3}→{cos(x)-1/3x^2}→{-sin(x)/6x}→{-cos(x)/6}から-1/6
同様に、(2)の第２項の極限を
{(sin(x)+x)/x^3}→{cos(x)+1/3x^2}→{-sin(x)/6x}→{-cos(x)/6}から-1/6
としました。
ロピタルの定理について、理解不足かもしれません。ご指摘いただければと思います。

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■42285 / inTopicNo.8)

　Re[5]: lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}の極限値を求める問題

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□投稿者/ らすかる大御所(857回)-(2010/08/02(Mon) 17:19:59)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

ロピタルの定理は0/0形か±∞/±∞形のときしか使えませんので、
(cos(x)+1)/(3x^2) にロピタルの定理を適用することはできません。

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■42286 / inTopicNo.9)

　Re[5]: lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}の極限値を求める問題

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□投稿者/ だるまにおんベテラン(232回)-(2010/08/02(Mon) 17:27:46)

2010/08/02(Mon) 17:31:19 編集(投稿者)

(1)はあっています。

あとは、らすかるさんのおっしゃるとおりです。

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■42287 / inTopicNo.10)

　Re[6]: lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}の極限値を求める問題

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□投稿者/ じゅんいち一般人(8回)-(2010/08/02(Mon) 18:00:14)

■No42285に返信(らすかるさんの記事)
> ロピタルの定理は0/0形か±∞/±∞形のときしか使えませんので、
> (cos(x)+1)/(3x^2) にロピタルの定理を適用することはできません。

ありがとうございました。基本的なことを全く考慮しておりませんでした。大変ご迷惑おかけいたしました。

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■42288 / inTopicNo.11)

　Re[6]: lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}の極限値を求める問題

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□投稿者/ じゅんいち一般人(9回)-(2010/08/02(Mon) 18:00:48)

■No42286に返信(だるまにおんさんの記事)
> 2010/08/02(Mon) 17:31:19 編集(投稿者)
>
> (1)はあっています。
>
> あとは、らすかるさんのおっしゃるとおりです。

ありがとうございました。基本的なことを全く考慮しておりませんでした。大変ご迷惑おかけいたしました。

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