数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: ローラン級数展開 / Page: 0]

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■42264 / inTopicNo.1)

　ローラン級数展開

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□投稿者/ vivi 一般人(1回)-(2010/08/01(Sun) 12:00:14)

1/(z^2-z^3)を0<|z|<1および1<|z|でローラン級数展開せよ
という問題です。

答えは、1/z^2+1/z+1+z+z^2... となってましたが
どうやってこのようになるのかが分かりません。
よろしくお願いします。

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■42266 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ローラン級数展開

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□投稿者/ tokoro 一般人(48回)-(2010/08/01(Sun) 15:44:26)

$2$F(z) = \frac{1}{z^2 - z^3} = \frac{1}{z^2 (1 - z)}$ とすると、関数 $2$F(z)$ は特異点 $2$z = 0$ と $2$z = 1$ で発散します。
つまり、関数 $2$F(z)$ は $2$z = 0$ と $2$z = 1$ で正則でありません。
ローラン展開は、このような正則でない点を中心としたベキ級数展開です。

$2$z = 0$ を展開の中心とすると、 $2$z = 0$ から距離 $2$1$ の $2$z = 1$ は特異点なので、 $2$0 < |z| < 1$ と $2$|z| > 1$ の２つの正則な領域で分けて考えることになります。

$2$0 < |z| < 1$ であれば、 $2$|z| = r \ , \ 0 < r < 1$ とすると、よく知られた等比級数の式、
$2$\frac{1}{(1 - r)} = \sum_{k = 0}^{\infty} r^{k} = 1 + r + r^2 + \cdots + r^n + \cdots$
より、
$2$F(z) = \frac{1}{z^2} \cdot \frac{1}{(1 - z)} = \frac{1}{z^2} \cdot (1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + \cdots) = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z} + 1 + z + z^2 + \cdots$
となります。

$2$|z| > 1$ であれば、 $2$1 > \frac{1}{|z|}$ なので、 $2$\frac{1}{|z|} = r \ , \ 0 < r < 1$ とすると、
$2$\frac{1}{(1 - z)} = \frac{1}{z (1/z - 1)} = \frac{- 1}{z (1 - 1/z)}$
より、
$2$F(z) = \frac{- 1}{z^3} \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} \Bigl ( \frac{1}{z} \Bigr )^{k} = - \sum_{k = 0}^{\infty} \Bigl ( \frac{1}{z} \Bigr )^{k + 3} = - \Bigl \{ \Bigl ( \frac{1}{z} \Bigr )^3 + \Bigl ( \frac{1}{z} \Bigr )^4 + \Bigl ( \frac{1}{z} \Bigr )^5 + \cdots \Bigr \}$
となります。

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■42267 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ローラン級数展開

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□投稿者/ vivi 一般人(2回)-(2010/08/01(Sun) 17:54:42)

とても見やすくて大変参考になりました。
ありがとうございます！

解決済み!

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