 | 2010/08/01(Sun) 15:27:17 編集(投稿者)
実数範囲と整数範囲の因数分解です。
実数範囲
cos(2πk/21)+isin(2πk/21)=cos(2π(21-k)/21)-isin(2π(21-k)/21)
なので、複素数範囲の結果から
x^14+x^7+1=Π[k=1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20]{x-cos(2πk/21)-isin(2πk/21)}
=Π[k=1,2,4,5,7,8,10]{x-cos(2πk/21)-isin(2πk/21)}
*Π[k=11,13,14,16,17,19,20]{x-cos(2πk/21)-isin(2πk/21)}
=Π[k=1,2,4,5,7,8,10]{x-cos(2πk/21)-isin(2πk/21)}
*Π[k=10,8,7,5,4,2,1]{x-cos(2πk/21)+isin(2πk/21)}
=Π[k=1,2,4,5,7,8,10]{x-cos(2πk/21)-isin(2πk/21)}{x-cos(2πk/21)+isin(2πk/21)}
=Π[k=1,2,4,5,7,8,10]{x^2-2cos(2πk/21)・x+1}
=Π[k=1,4,7,10]{x^2-2cos(2πk/21)・x+1}
*Π[k=2,5,8]{x^2-2cos(2πk/21)・x+1}
=Π[k=1,4,7,10]{x^2-2cos(2πk/21)・x+1}
*Π[k=19,16,13]{x^2-2cos(2πk/21)・x+1}
=Π[k=1,4,7,10,13,16,19]{x^2-2cos(2πk/21)・x+1}
=Π[k=0～6]{x^2-2cos(2π(3k+1)/21)・x+1}
整数範囲
実数範囲の因数分解結果から、2次の整数係数因数はx^2+x+1のみで、
x^14+x^7+1をx^2+x+1で割ると
f(x)=x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1となります。
実数範囲の因数はすべて、1次の項の係数の絶対値が2未満ですので
x＜-1のとき (x-1)^2＞(実数範囲の因数)＞(x+1)^2 となります。
よって実数範囲の因数のxに-2を代入すると1より大きい値が得られますので、
もしf(x)=g(x)h(x)のように因数分解できたとすると g(-2)＞1, h(-2)＞1
となります。しかしf(-2)=5419は素数ですから、これ以上因数分解できません。
従って x^14+x^7+1=(x^2+x+1)(x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1) が
答えとなります。
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