数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: y''-xy = 0 の解 / Page: 0]

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■42222 / inTopicNo.1)

　y''-xy = 0 の解

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□投稿者/ asdf 一般人(1回)-(2010/07/27(Tue) 19:03:04)

タイトル通りなのですが、

y''-xy = 0

で、yを求めたいのですが、どうすれば求まるのでしょうか。
よろしくお願いします。

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■42228 / inTopicNo.2)

　Re[1]: y''-xy = 0 の解

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□投稿者/ tokoro 一般人(47回)-(2010/07/28(Wed) 01:32:58)

他にも方法があると思いますが、級数展開で求めてみます。
解を、
$2$y = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^2 + a_{3} x^3 + \cdots + a_{n} x^{n} + \cdots$
と仮定すると、
$2$y^{\prime} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{(n - 1)} = a_{1} + 2 a_{2} x + 3 a_{3} x^2 + \cdots + n a_{n} x^{(n - 1)} + \cdots$
$2$y^{\prime \prime} = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) a_{n} x^{(n - 2)} = 2 a_{2} + 3 \cdot 2 a_{3} x + \cdots + n (n - 1) a_{n} x^{(n - 2)} + \cdots$
となります。
これを元の式 $2$y^{\prime \prime} = x y$ に代入すると、
$2$x y = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{(n + 1)} = a_{0} x + a_{1} x^2 + a_{2} x^3 + \cdots + a_{n} x^{(n + 1)} + \cdots = y^{\prime \prime}$
なので、 $2$x y$ と $2$y^{\prime \prime}$ の同じ $2$x$ のベキの比較をすると、
$2$a_{2} = 0$
$2$a_{3} = a_{0}/(3 \cdot 2)$
$2$a_{4} = a_{1}/(4 \cdot 3)$
$2$a_{5} = a_{2}/(5 \cdot 4) = 0$
$2$a_{6} = a_{3}/(6 \cdot 5) = a_{0}/(6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2)$
$2$a_{7} = a_{4}/(7 \cdot 6) = a_{1}/(7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3)$
$2$a_{8} = a_{5}/(8 \cdot 7) = 0$
$2$a_{9} = a_{6}/(9 \cdot 8) = a_{0}/(9 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2)$
$2$a_{10} = a_{7}/(10 \cdot 9) = a_{1}/(10 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3)$
のようになるので、
$2$a_{3 n} = a_{0}/\{ 3 n \cdot (3 n - 1) \cdots 6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \} = a_{0}/\{ \Pi_{k = 1}^{n} (3 k) \cdot (3 k - 1) \}$
$2$a_{(3 n + 1)} = a_{1}/\{ (3 n + 1) \cdot 3n \cdots 7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3 \} = a_{1}/\{ \Pi_{k = 1}^{n} (3 k + 1) \cdot (3 k) \}$
より、
$2$y = a_{0} \Bigl [ 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} x^{(3 n)}/\{ \Pi_{k = 1}^{n} (3 k) \cdot (3 k - 1) \} \Bigr ] + a_{1} \Bigl [ x + \sum_{n = 1}^{\infty} x^{(3 n + 1)}/\{ \Pi_{k = 1}^{n} (3 k + 1) \cdot (3 k) \} \Bigr ]$
となります。

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■42231 / inTopicNo.3)

　Re[2]: y''-xy = 0 の解

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□投稿者/ asdf 一般人(2回)-(2010/07/28(Wed) 08:32:22)