数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 写像に関する問題 / Page: 0]

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■42167 / inTopicNo.1)

　写像に関する問題

□投稿者/ ゆうた一般人(1回)-(2010/07/16(Fri) 20:29:06)

f:R^2→R^2,f(x,y)=(x+y,xy)とするときf(D)を求めよ。
D={(x,y)|x^2+y^2＜1,x＞0,y＜0}
という問題です。
x^2+y^2＜1から-√(1-x^2)＜y＜√(1-x^2)であるので、
-√(1-x^2)＜y＜0
x-√(1-x^2)＜x+y＜x
-x√(1-x^2)＜xy＜0
うまく進めることができません。アドバイスの程お願い致します。

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■42169 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 写像に関する問題

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□投稿者/ tokoro 一般人(43回)-(2010/07/16(Fri) 22:15:26)

2010/07/16(Fri) 22:17:39 編集(投稿者)

定義域 $2$D$ は、 $2$x^2 + y^2 < 1, \ x > 0, \ y < 0$ ということなので、
これは半径１の円の４分の１の領域（第４象限）を意味します。（ただし、 $2$x$ 軸・ $2$y$ 軸や円の弧などの境界は含まない）
ですから、 $2$x = r \cos \theta, \ y = r \sin \theta$ という極座標で考えると、
$2$D = (r, \ \theta) | \{ 0 < r < 1, \ - \pi/2 < \theta < 0, \ or \ (3 \pi/2 < \theta < 2 \pi) \}$ となります。
このとき写像は、
$2$x + y = r \cos \theta + r \sin \theta = \sqrt{2} r \cos (\theta - \pi/4)$
$2$x y = r \cos \theta \cdot r \sin \theta = (r^2/2) \sin 2 \theta$
となります。

例えば、 $2$(x, \ y) = (1/2, \ - 1/2)$ のとき、 $2$f(x, \ y) = (x + y, \ x y) = (0, \ - 1/4)$ となりますね。
これを極座標で考えると、 $2$r = 1/\sqrt{2}, \ \theta = - \pi/4$ なので、
$2$x + y = \sqrt{2} r \cos (\theta - \pi/4) = \sqrt{2} \cdot 1/\sqrt{2} \cdot \cos (- \pi/2) = 1 \cdot 0 = 0$
$2$x y = (r^2/2) \sin 2 \theta = (1/\sqrt{2})^2/2 \cdot \sin (- \pi/2) = (1/4) \cdot (- 1) = - 1/4$
となって、同じ結果になります。

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■42171 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 写像に関する問題

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□投稿者/ ゆうた一般人(2回)-(2010/07/17(Sat) 17:45:58)

tokoro様アドバイスありがとうございます。極座標で考えると大変理解しやすいですね。ところで、x+y,xyのそれぞれを極座標ではなく、x,yで表すとするとどのようになるのでしょうか？もしよろしければ、アドバイスいただければと思います。

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■42174 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 写像に関する問題

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□投稿者/ らすかる大御所(837回)-(2010/07/17(Sat) 18:48:42)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

X=x+y, Y=xy とすると
X^2-2Y=x^2+y^2＜1
X^2-4Y=(x-y)^2＞0
また x＞0, y＜0 から Y＜0
よって f(D)={(x,y)|x^2-2y＜1, y＜0}

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