数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 不定積分の問題です / Page: 0]

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■42137 / inTopicNo.1)

　不定積分の問題です

□投稿者/ mon 一般人(3回)-(2010/07/13(Tue) 12:29:18)

2010/07/13(Tue) 17:32:30 編集(投稿者)

続けて失礼します。
解析学が本当に苦手で教えていただきたいです。

次の関数の不定積分を求めよ．また，求めた不定積分を
微分して元の関数に一致する事を確かめよ．
(1)1/(x^4-1)
(2)(2-sinx)/(2+cosx)
(3)xlog(x + √(1 + x^2))

以上の問題の解説をお願いします。

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■42148 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 不定積分の問題です

▲▼■

□投稿者/ だるまにおんベテラン(218回)-(2010/07/14(Wed) 09:56:55)

$2$ (1) \\ \frac{1}{x^4-1}=\frac{1}{4\left(x-1\right)}-\frac{1}{4\left(x+1\right)}-\frac{1}{2\left(x^2+1\right)}$
と変形できますね。

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■42150 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 不定積分の問題です

▲▼■

□投稿者/ tokoro 一般人(41回)-(2010/07/14(Wed) 12:53:43)

(2)は、
$2$\frac{2 - \sin x}{2 + \cos x} = \frac{2}{2 + \cos x} + \frac{- \sin x}{2 + \cos x}$ と分けられるので、第２項は積分すると $2$\log$ の関数になるのがわかります。
第１項は、 $2$\tan (x/2) = t$ とおくと、 $2$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \ dx = \frac{2}{1 + t^2} dt$ より、
$2$\displaystyle\int \frac{2}{2 + \cos x} \ dx = \displaystyle\int \frac{4}{3 + t^2} \ dt$ となるので、 $2$\tan ^{-1}$ の関数になるのがわかります。

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