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■42136 / inTopicNo.1)

　積分の問題です

▼■

□投稿者/ mon 一般人(1回)-(2010/07/13(Tue) 12:19:17)

画像に乗せた問題を解説付で教えていただきたいです。
どうぞよろしくお願いします。

597×244 => 250×102

kaiseki3.JPG/19KB

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■42139 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分の問題です

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□投稿者/ tokoro 一般人(38回)-(2010/07/13(Tue) 19:31:32)

2010/07/13(Tue) 19:35:23 編集(投稿者)
2010/07/13(Tue) 19:33:15 編集(投稿者)

まず、この曲線は $2$x$ 軸・ $2$y$ 軸の両方に対して対称なので、 $2$x, \ y$ が正の範囲では、全長の４分の１の長さになります。
問題文のヒントに従って $2$x = \cos ^3 t, \ y = \sin ^3 t$ とすると、 $2$x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ を満たします。
$2$\frac{dx}{dt} = - 3 \cos ^2 t \cdot \sin t, \ \frac{dy}{dt} = 3 \sin ^2 t \cdot \cos t$ なので、
$2$\sqrt{ \Bigl ( \frac{dx}{dt} \Bigr )^2 + \Bigl ( \frac{dy}{dt} \Bigr )^2 } = 3 \sin t \cdot \cos t$
となります。
ここで $2$t$ は $2$0$ から $2$\pi/2$ まで考えれば４分の１の長さが得られるので、全長は、
$2$4 \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} 3 \sin t \cdot \cos t \ dt = 6 \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \sin 2 t \ dt = 6 \Bigl ( - \frac{1}{2} \cos 2 t \Bigr )_{0}^{\pi/2} = 6$
となります。

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