数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: おねがいします。 / Page: 0]

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■42053 / inTopicNo.1)

　おねがいします。

□投稿者/ bibun 一般人(2回)-(2010/07/02(Fri) 01:50:52)

この問題の中でできるのだけでもやってくれるとありがたいです。
どうしても解けないです。過程もできましたらよろしくおねがいします。

1. ある一定の容積をもった直円柱の缶詰をつくのに、その側面と上下面の面積の和を(使う材料)を最小にしたい。底面の半径をrと高さhの比をどのようにすればよいか。

2.円形の紙から扇形を切り取って円錐状の容器をつくり、その容積を最大にしたい。切り取る扇形の中心角の大きさをいくらにすればよいか。

3.垂直な壁に立てかけた長さ5mの棒がある。この棒の下端を地面に沿うて毎秒50cmの速さで壁から遠ざけていく。棒の下端が3m壁から離れたときの，棒の上端が壁に沿ってずり落ちる速さを求めよ。

4.ある鉄球を熱したところ，体積がa%増した。このとき、半径と表面積は何％増すか。

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■42055 / inTopicNo.2)

　Re[1]: おねがいします。

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□投稿者/ tokoro 一般人(23回)-(2010/07/02(Fri) 08:25:35)

一番簡単そうな４だけやります。
球の体積 $2$V$ は半径 $2$r$ のとき、 $2$V = \frac{4 \pi}{3} r^3$ ですから、体積が $2$a$ ％増したときの半径を $2$R$ 、体積を $2$W$ とすると、
$2$\frac{W}{V} = \Bigl ( \frac{R}{r} \Bigr )^3 = 1 + \frac{a}{100}$
となります。
これから、 $2$R = r \Bigl ( 1 + \frac{a}{100} \Bigr )^{1/3}$ となりますから、あとはわかると思います。

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■43853 / inTopicNo.3)

　Re[1]: おねがいします。

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□投稿者/ シャロン一般人(37回)-(2011/06/19(Sun) 13:53:20)

> 1. ある一定の容積をもった直円柱の缶詰をつくのに、その側面と上下面の面積の和を(使う材料)を最小にしたい。底面の半径をrと高さhの比をどのようにすればよいか。

容積を $2$V$ とすると、 $2$\pi r^2h=V$ より $2$h=\frac{V}{\pi r^2}$

表面積 $2$a(r)$ は、
$2$a(r) = 2\pi r^2+2\pi rh = 2\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2}$
$2$=2\pi r^2+\frac{2V}{r}$

$2$\frac{d}{dr}a(r) = 4\pi r-\frac{2V}{r^2}$ $2$ = \frac{4\pi r^3-2V}{r^2}$
$2$\frac{d}{dr}a(r) = 0$ を $2$r\in\mathbb{R}$ で解いて、 $2$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$
$2$a(r)$ の増減を考えると、 $2$a(r)$ はこのとき、最小となる。
このとき、
$2$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$
$2$=\sqrt[3]{\frac{\pi r^2h}{2\pi}}$
$2$=\sqrt[3]{\frac{r^2h}{2}}$

$2$r^3=\frac{r^2h}{2}$

$2$r=\frac{h}{2}$ (∵ $2$r\ne0$ )

∴ $2$r:h = \frac{h}{2}:h = 1:2$

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■43854 / inTopicNo.4)

　Re[1]: おねがいします。

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□投稿者/ シャロン一般人(38回)-(2011/06/19(Sun) 14:32:00)

> 2.円形の紙から扇形を切り取って円錐状の容器をつくり、その容積を最大にしたい。切り取る扇形の中心角の大きさをいくらにすればよいか。

紙の半径を $2$r$ 、切り取る扇形の中心角を $2$\theta$ とおく。

このとき、円錐の底面の周長は扇形の弧の長さに等しいので、
$2$2\pi r\times\frac{\theta}{2\pi}=r\theta$ 。

したがって、底面の半径は $2$\frac{r\theta}{2\pi}$

このとき、円錐の高さは、頂点と底面の中心を通る平面での断面を考え、三平方の定理から、
$2$\sqrt{r^2-\left(\frac{r\theta}{2\pi}\right)^2} = \frac{r\sqrt{4\pi^2-\theta^2}}{2\pi}$

よって、円錐の容積Vは、
$2$V=\frac{1}{3}\left(\frac{r\theta}{2\pi}\right)^2\cdot\frac{r\sqrt{4\pi^2-\theta^2}}{2\pi}$
$2$=\frac{r^3\theta^2\sqrt{4\pi^2-\theta^2}}{24\pi^3}$
いま、 $2$v=\theta^2\sqrt{4\pi^2-\theta^2}$ とおくと、
$2$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}v=2\theta\sqrt{4\pi^2-\theta^2}+\theta^2\cdot\frac{-2\theta}{2\sqrt{4\pi^2-\theta^2}}$
$2$=\frac{2\theta(4\pi^2-\theta^2)-\theta^3}{\sqrt{4\pi^2-\theta^2}}$
$2$=\frac{\theta(8\pi^2-3\theta^2)}{\sqrt{4\pi^2-\theta^2}}$

$2$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}v=0$ を、 $2$0<\theta<2\pi$ で解いて、増減を考えると、 $2$\theta=\frac{2\sqrt6}{3}\pi$ のとき、容積が最大となる。

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■43855 / inTopicNo.5)

　Re[1]: おねがいします。

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□投稿者/ シャロン一般人(39回)-(2011/06/19(Sun) 14:44:01)

> 3.垂直な壁に立てかけた長さ5mの棒がある。この棒の下端を地面に沿うて毎秒50cmの速さで壁から遠ざけていく。棒の下端が3m壁から離れたときの，棒の上端が壁に沿ってずり落ちる速さを求めよ。

棒が鉛直な状態から $2$t$ 秒後の上端の高さ $2$h$ は、 $2$\sqrt{5^2-\left(\frac{t}{2}\right)^2}$ mなので、そのときの速度は、
$2$|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}h| = \frac{t}{2\sqrt{100-t^2}}$
より、 $2$t=6$ を代入して、 $2$\frac{3}{8}$ m/s

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