 | > 定義域の端点でのyの値が-tと2tのどちらのほうが大きいかなど、いろいろ考えなければならず
これはそういう問題です。
場合分けの塊のような問題ですが、一つづつ片付けることで場合分けをすることに慣れるより方法はありません。
条件から
f(x)=-x-1(x<-1) (A)
f(x)=x+1(-1≦x<4) (B)
f(x)=-x+9(4≦x<9) (C)
f(x)=x-9 (9≦x)(D)
また、t>0より
-t<0,0<2t
ですから定義域
-t≦x≦2t
の端点である、x座標が-t、2tとなる点（それぞれP,Qとします）の内、
点Pは(A)(B)のいずれか
点Qは(B)(C)(D)のいずれか
で表されるy=f(x)のグラフの上にあることが分かります。
そこでまず
(i)点P,Qがいずれも(B)
(ii)点Pが(B)、点Qが(C)
(iii)点Pが(B)、点Qが(D)
(iv)点Pが(A)、点Qが(B)
(v)点Pが(A)、点Qが(C)
(vi)点Pが(A)、点Qが(D)
で表されるy=f(x)のグラフの上にある場合に場合分けします。
(i)-1≦-t<0かつ0<2t<4、つまり0<t≦1のとき
点P,Qは(B)で表されるy=f(x)のグラフの上にあります。よってg(t)は
g(t)=2t+1
(ii)-1≦-t<0かつ4≦2t<9のとき
このような実数tは存在しません。
(iii)-1≦-t<0かつ9≦2tのとき
このような実数tは存在しません。
(iv)-t<-1かつ0<2t<4、つまり1<t<2のとき
点Pは(A),Qは(B)で表されるy=f(x)のグラフの上にあります。よってg(t)は
t-1,2t+1
の内、いずれか大きいほうになります。
ここで
t-1≦2t+1
を解くと-2≦t
∴g(t)=2t+1
(v)-t<-1かつ4≦2t<9、つまり2≦t<9/2のとき
点Pは(A),Qは(C)で表されるy=f(x)のグラフの上にあります。よってg(t)は
t-1,-2t+9,5
の内、いずれか大きいほうになります。
(注)5とは、x=4のときの値（逆V字型の部分の頂点のy座標）です。
ここで
t-1≦-2t+9
を解くとt≦10/3
t-1≦5
を解くとt≦6
又グラフより
-2t+9≦5
∴g(t)=5
(vi)-t<-1かつ9≦2t、つまり9/2≦tのとき
点Pは(A),Qは(D)で表されるy=f(x)のグラフの上にあります。よってg(t)は
t-1,2t-9,5
の内、いずれか大きいほうになります。
ここで
t-1≦2t-9
を解くと8≦t
2t-9≦5
を解くと
t≦7
t-1≦5
を解くと
t≦6
よって
9/2≦t≦6のとき2t-9<t-1≦5
6<t≦7のとき2t-9≦5<t-1
7<t<8のとき5<2t-9<t-1
8≦tのとき5<t-1≦2t-9
ですから
g(t)=5(9/2<t≦6のとき)
g(t)=t-1(6<t<8のとき)
g(t)=2t-9(8≦tのとき)
以上より
g(t)=2t+1(0<t<2のとき)
g(t)=5(2≦t≦6のとき)
g(t)=t-1(6<t<8のとき)
g(t)=2t-9(8≦tのとき)
(他にももっと簡単な場合分けの方法があるかもしれません。後は自分で考えてみましょう。)
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