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■42035 / inTopicNo.1)

　積分です

□投稿者/ こん一般人(5回)-(2010/06/30(Wed) 18:43:34)

大学院の問題です。解答をつくってみましたが、解答の場合分け[2][3]の一部がわかりませんでした。わかるかた、教えてください。
問題
$2$ \displaystyle\int_100^\infty { \frac{ 1 }{ x^p (\log x)^q } dx }$
が収束する際のp,qの条件を求めよ
なお、以下の式
$2$ \displaystyle\int_a^\infty { \frac{ 1 }{ x^p } dx }$
(aは正の整数)
が収束するのと、p > 1となるのは同値であるというのは使用してもよい

解答
場合分けをして、考えてみました
[1]p > 1,q >= 0のとき
$2$ \frac{ 1 }{ x^p (\log x)^q } < \frac{ 1 }{x^p}$
なので、条件の式より収束
[2]p > 1, q <= 0のとき
$2$ \frac{ 1 }{ x^p (\log x)^q } < \frac{ 1 }{x^p\quad x^q}$
なので、p + q > 1の時、条件の式より収束
ここで、p + q < 1の時どうなるかがわかりません。
束
[3]p < 1, q >= 0のとき
$2$ \frac{ 1 }{ x^p (\log x)^q } > \frac{ 1 }{x^p\quad x^q}$
なので、p + q < 1の時、条件の式より発散
ここで、p + q > 1の時どうなるかがわかりません。
[4]p <1 , q <= 0のとき
$2$ \frac{ 1 }{ x^p (\log x)^q } > \frac{ 1 }{x^p}$
なので、条件の式より発散

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■42036 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分です

▲▼■

□投稿者/ こん一般人(6回)-(2010/06/30(Wed) 18:45:22)

すいません、問題が間違っていました
最初の式が
$2$ \displaystyle\int_{100}^\infty { \frac{ 1 }{ x^p (\log x)^q } dx }$
となります。
よろしくお願いします

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