数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 直交多項式 / Page: 0]

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■41992 / inTopicNo.1)

　直交多項式

□投稿者/ 御手洗景子＠一般人(9回)-(2010/06/24(Thu) 14:22:33)
http://mixi.jp/show_friend.pl?id

p1（x）＝１
p2（x）＝（a１）x＋（a2）
p3（x）＝（b１）x^2＋（b2）x＋（b3）
p4（x）＝（c１）x^3＋（c2）x^2＋（c3）x＋（c4）
とするとき，∫〔-1，1〕pn(x)pm(x)dx＝{１（n=mのとき）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　{０（n≠mのとき）
が成立するように定数a1，a2，b1，b2，b3，c1，c2，c3，c4を決定せよ。

式がわかりにくいかもしれませんが，計算途中経過も詳しく教えてください。

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■41996 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 直交多項式

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□投稿者/ tokoro 一般人(14回)-(2010/06/24(Thu) 22:54:16)

2010/06/24(Thu) 22:58:10 編集(投稿者)

これはルジャンドル多項式ですね。
これで検索すれば、この問題の答が出てきますが、規格化（または正規化という）されていない場合は、ちょっと（見た目が）違うかもしれません。
規格化していない場合、次の形と同じようになります。（係数が違うだけで、１つの多項式における係数の比は変わらない）
$2$P_{1}(x) = 1$
$2$P_{2}(x) = x$
$2$P_{3}(x) = 3 x^2 - 1$
$2$P_{4}(x) = 5 x^3 - 3 x$
以上がほぼ答になりますが、この問題は規格化したものを求めよということなので、以上のものとは係数が異なります。
以下、簡単のため、 $2$P_{1}(x)$ などを $2$P_{1}$ と書きます。

まず、 $2$P_{1}$ から順に考えていきますが、
$2$\displaystyle\int_{-1}^{1} \{ P_{1} \}^2 \ dx = 1$ を満たさなければならないので、改めて $2$P_{1} = A$ とすると、
$2$\displaystyle\int_{-1}^{1} A^2 \ dx = 2 A^2 \displaystyle\int_{0}^{1} dx = 2 A^2 = 1$ から、 $2$A = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。
つまり、 $2$P_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。（問題では $2$P_{1} = 1$ となっていますが、 $2$\displaystyle\int_{-1}^{1} \{ P_{1} \}^2 \ dx = 1$ を満たさないので正しくありません）

次に、 $2$P_{2} = a_{1} x + a_{2}$ について考えますが、 $2$\displaystyle\int_{-1}^{1} \{ P_{2} \}^2 \ dx = 1$ は、
$2$\displaystyle\int_{-1}^{1} \{ (a_{1})^2 x^2 + 2 (a_{1}) (a_{2}) x + (a_{2})^2 \} \ dx$
$2$= 2 (a_{1})^2 \displaystyle\int_{0}^{1} x^2 \ dx + 2 (a_{2})^2 \displaystyle\int_{0}^{1} dx$
$2$= \frac{2}{3} (a_{1})^2 + 2 (a_{2})^2 = 1$
となります。
これだけでは不十分で、 $2$\displaystyle\int_{-1}^{1} P_{1} P_{2} \ dx = 0$ の条件が加わり、これは、
$2$\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2}} \{ a_{1} x + a_{2} \} \ dx$
$2$= \frac{2}{\sqrt{2}} a_{2} \displaystyle\int_{0}^{1} dx = \sqrt{2} a_{2} = 0$ から、 $2$a_{2} = 0$ となります。
よって、 $2$\frac{2}{3} (a_{1})^2 = 1$ から、 $2$a_{1} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ となります。
つまり、 $2$P_{2} = \sqrt{\frac{3}{2}} x$ となります。

次に、 $2$P_{3} = b_{1} x^2 + b_{2} x + b_{3}$ について考えますが、 $2$\displaystyle\int_{-1}^{1} \{ P_{3} \}^2 \ dx = 1$ は、
$2$\displaystyle\int_{-1}^{1} \{ (b_{1})^2 x^4 + (b_{2})^2 x^2 + (b_{3})^2 + 2 (b_{1}) (b_{2}) x^3 + 2 (b_{1}) (b_{3}) x^2 + 2 (b_{2}) (b_{3}) x \} \ dx$
$2$= 2 (b_{1})^2 \displaystyle\int_{0}^{1} x^4 \ dx + 2 (b_{2})^2 \displaystyle\int_{0}^{1} x^2 \ dx + 2 (b_{3})^2 \displaystyle\int_{0}^{1} dx + 4 (b_{1}) (b_{3}) \displaystyle\int_{0}^{1} x^2 \ dx$
$2$= 2 (b_{1})^2 \frac{1}{5} + 2 (b_{2})^2 \frac{1}{3} + 2 (b_{3})^2 + 4 (b_{1}) (b_{3}) \frac{1}{3} = 1$
となります。
この他に、 $2$\displaystyle\int_{-1}^{1} P_{1} P_{3} \ dx = 0$ と $2$\displaystyle\int_{-1}^{1} P_{2} P_{3} \ dx = 0$ の条件が加わり、
$2$\displaystyle\int_{-1}^{1} P_{1} P_{3} \ dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \displaystyle\int_{-1}^{1} \{ b_{1} x^2 + b_{2} x + b_{3} \} \ dx$
$2$= \frac{1}{\sqrt{2}} 2 b_{1} \displaystyle\int_{0}^{1} x^2 \ dx + \frac{1}{\sqrt{2}} 2 b_{3} \displaystyle\int_{0}^{1} dx$
$2$= \sqrt{2} \{ \frac{1}{3} b_{1} + b_{3} \} = 0$
より、 $2$\frac{1}{3} b_{1} + b_{3} = 0$ と、
$2$\displaystyle\int_{-1}^{1} P_{2} P_{3} \ dx = \sqrt{\frac{3}{2}} \displaystyle\int_{-1}^{1} \{ b_{1} x^3 + b_{2} x^2 + b_{3} x \} \ dx$
$2$= \sqrt{\frac{3}{2}} 2 b_{2} \displaystyle\int_{0}^{1} x^2 \ dx = 0$
より、 $2$b_{2} = 0$ が得られます。
ここまでの結果で、 $2$\frac{1}{3} b_{1} + b_{3} = 0, \ b_{2} = 0$ から、 $2$P_{3} = A \{ 3 x^2 - 1 \}$ の形になるのは明らかでしょう。（ $2$A$ は定数）
残りは前と同様にやれば求まります。
$2$P_{4}$ の場合も同様にやればいいです。

以上の計算で、積分は偶関数・奇関数の性質を利用していて、いくらか計算量を減らせます。
既に $2$P_{4}$ も答を示しているも同然なので、残りはご自分でやってください。

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■42004 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 直交多項式

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□投稿者/ 御手洗景子＠一般人(10回)-(2010/06/26(Sat) 14:26:00)
http://mixi.jp/show_friend.pl?id

ありがとうございます。
一つ一つの計算の仕方は，覚えるしかないですね。
ｂ１＝±３√１０/２，ｂ３＝±√１０/２
c1=５√１４/２，ｃ２＝０，ｃ３＝３√１４/２，ｃ４＝０
になりましたが…あまりよくわからないまま…これでいいのでしょうか？

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■42006 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 直交多項式

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□投稿者/ tokoro 一般人(15回)-(2010/06/26(Sat) 16:54:14)

2010/06/26(Sat) 16:57:04 編集(投稿者)

ちょっと違うようです。
私が計算すると、 $2$P_{3} = \sqrt{(5/8)}(3 x^2 - 1)$ になりました。
もしかして、 $2$\sqrt{(5/8)}$ の分母にあたる $2$\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ をルートから出すときにミスしていませんか？
一応、私の方は $2$\displaystyle\int_{-1}^{1} \{ P_{3} \}^2 \ dx = 1$ を満たすことが確認できたのですが。（一度しかやっていないので、私がミスしている可能性もあります）
それと、±出てきますが、どちらか一方にしぼっていいと思います。
ここでは、 $2$b_{1} = - 3 b_{3} > 0, \ b_{3} < 0$ に選んでおけばいいでしょう。

$2$P_{4}$ は $2$A$ を定数として、 $2$P_{4} = A (5 x^3 - 3 x)$ となるのは明らかなようですから、これを信じて $2$\displaystyle\int_{-1}^{1} \{ P_{4} \}^2 \ dx = 1$ から $2$A$ を求めることにすると、
$2$\displaystyle\int_{-1}^{1} \{ P_{4} \}^2 \ dx = (A)^2 \displaystyle\int_{-1}^{1} (25 x^6 - 30 x^4 + 9 x^2) \ dx$
$2$= 2 (A)^2 \displaystyle\int_{0}^{1} (25 x^6 - 30 x^4 + 9 x^2) \ dx$
$2$= 2 (A)^2 \{ 25/7 - 30/5 + 9/3 \} = (8/7) (A)^2 = 1$ より、 $2$A = \sqrt{(7/8)}$ となります。
これも $2$\sqrt{8}$ を直すときに同じミスをしていませんか？
$2$\sqrt{7}/\sqrt{8} = \frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}} = \sqrt{14}/4$ のはずです。（分母・分子に $2$\sqrt{2}$ をかけると分母は $2$2 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4$ ）
結局、 $2$P_{4} = \sqrt{(7/8)} (5 x^3 - 3 x) = (\sqrt{14}/4) (5 x^3 - 3 x)$ になると思います。

一応、念のため、もう一度ご自分でご確認ください。（私のミスもあるかもしれないので）

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■42215 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 直交多項式

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□投稿者/ ぬるぽ一般人(1回)-(2010/07/26(Mon) 23:02:03)

つ[参考書]

高木, 「解析概論」改訂第3版, 岩波書店 (1961.5)
　第3章積分法　36. Legendre の球函数、 p.119-122

森口･宇田川･一松編,「数学公式III」, 岩波全書244 (1960.3)
　　第IV篇　直交多項式、§21 Legendre の多項式, p.82-85

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