数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: グラム・シュミットの直行化 / Page: 0]

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■41981 / inTopicNo.1)

　グラム・シュミットの直行化

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□投稿者/ みー付き人(81回)-(2010/06/20(Sun) 22:01:42)

教えてください（・V・）！！

a＝（１,１,１）, b＝（０,１,１）, c＝（０,０,１）をもとにグラム・シュミットの直行化法によってR＾３の直行基底を求めよ。

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■41984 / inTopicNo.2)

　Re[1]: グラム・シュミットの直行化

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□投稿者/ tokoro 一般人(10回)-(2010/06/21(Mon) 08:32:47)

グラム・シュミットの直交化法の公式は知っているか、調べましたか？
互いに直交するとは限らないベクトルから、互いに直交し、かつ大きさが１になるようなベクトルの組を作る方法ですね。
この問題では、 $2${c} = (0, \ 0, \ 1)$ を新たな基底ベクトルのとっかかりとして考えるのが簡単です。（このままで大きさ１のベクトルになっているので）
つまり、新たな基底 $2${e}_{1} = {c} = (0, \ 0, \ 1)$ と考えます。
次にこの $2${e}_{1}$ を使って、
$2${E}_{2} = {b} - ({b} \cdot {e}_{1}) {e}_{1} = (0, \ 1, \ 1) - 1 \times (0, \ 0, \ 1) = (0, \ 1, \ 0)$
$2${e}_{2} = {E}_{2}/| {E}_{2}| = {E}_{2} = (0, \ 1, \ 0)$
同様に、
$2${E}_{3} = {a} - \{ ({a} \cdot {e}_{1}) {e}_{1} + ({a} \cdot {e}_{2}) {e}_{2} \}$ より、
$2${e}_{3} = {E}_{3}/| {E}_{3} | = {E}_{3} = (1, \ 0, \ 0)$
となります。
以上において、 $2${A} \cdot {B}$ はベクトル $2${A}$ と $2${B}$ の内積、 $2$| {A} | = \sqrt{{A} \cdot {A}}$ を意味します。

これは問題を見ただけでも出てくる結果ですが、結局、
$2$(1, \ 0, \ 0), \ (0, \ 1, \ 0), \ (0, \ 0, \ 1)$
が求めるべき基底です。

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■41990 / inTopicNo.3)

　Re[2]: グラム・シュミットの直行化

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□投稿者/ みー付き人(82回)-(2010/06/24(Thu) 07:21:47)

わかりやすい説明、
ありがとうございました（・ｖ・）！！

解決済み!

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