数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 漸化式 / Page: 0]

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■41959 / inTopicNo.1)

　漸化式

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□投稿者/ リーチ一般人(1回)-(2010/06/17(Thu) 23:24:44)

a_(n+2)=a_(n+1)+a_n+1,a_1=1,a_2=2　　　のときa_3n (n=1,2,3,⋯)は4の倍数であることをしめせ。

帰納法を用いて示そうとしたのですが、うまくいきませんでした。
どなたかご教授お願いいたします。

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■41970 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 漸化式

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□投稿者/ すっとこどっこい軍団(118回)-(2010/06/19(Sat) 01:10:04)

2010/06/19(Sat) 01:11:12 編集(投稿者)

i)　n＝1，n＝2それぞれの場合について、a_3＝4，a_6＝20となり、ともに4の倍数である。

ii)　n＝k，n＝k＋1それぞれの場合について、a_(3k)，a_(3k＋3)がともに4の倍数であると仮定すると、
　a_(3k)＝4p(pは整数)，a_(3k＋3)＝4q(qは整数)と表すことができる。
　また、a_(3k＋3)＝a_(3k＋2)＋a_(3k＋1)＋1・・・(1)
　　　　　　　　　＝{a_(3k＋1)＋a_(3k)＋1}＋a_(3k＋1)＋1＝2・a_(3k＋1)＋a_(3k)＋2・・・(2)となり、
　(2)は、4q＝2・a_(3k＋1)＋4p＋2と表せるので、a_(3k＋1)＝2(q－p)－1となり、
　(1)は、4q＝a_(3k＋2)＋{2(q－p)－1}＋1と表せるので、a_(3k＋2)＝2(p＋q)となる。

iii)　さらに、n＝k＋2の場合について、
　a_(3k＋6)＝a_(3k＋5)＋a_(3k＋4)＋1
　　　　　　＝{a_(3k＋4)＋a_(3k＋3)＋1}＋a_(3k＋4)＋1＝2・a_(3k＋4)＋a_(3k＋3)＋2
　　　　　　＝2・{a_(3k＋3)＋a_(3k＋2)＋1}＋a_(3k＋3)＋2＝3・a_(3k＋3)＋2・a_(3k＋2)＋4となり、
　ii)より、a_(3k＋3)＝4q，a_(3k＋2)＝2(p＋q)と表せるので、
　a_(3k＋6)＝3・4q＋2・2(p＋q)＋4＝4p＋16q＋4＝4(p＋4q＋1)となり、a_(3k＋6)は4の倍数である。

i)，ii)，iii)より、a_(3n)(nは自然数)は4の倍数である。[終]

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■41972 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 漸化式

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□投稿者/ だるまにおんベテラン(212回)-(2010/06/19(Sat) 03:00:55)

$2$a_{3n+6}=4a_{3n+4}-4a_{3n+2}+a_{3n}$ と変形しますと、 $2$a_{0}=0$ と $2$a_{3}=4$ より、すべての自然数 $2$n$ について $2$a_{3n}$ は $2$4$ の倍数になります。

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