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■41902 / inTopicNo.1)

　代数学の証明問題

□投稿者/ Kanji 一般人(1回)-(2010/06/07(Mon) 20:09:43)

初めまして。現在高校2年生の者です。
上野健爾氏の「代数入門」読んでいるのですが、分からないところに出会ったので質問させて頂きます。
高校数学は数学Cの行列以外は一応勉強しました。
「代数入門」80頁、第2章の演習問題2-3 (2)なのですが、問題は

(1)素数 $2$p$ に対して、任意の正整数 $2$a$ は
$2$a=a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots+a_kp^k,$
$2$0\leq a_i\leq p-1,\quad i=0,\/1,\/\cdots,\/k,\quad a_k\neq0$
と一意的に表示できることを示せ。(これを $2$a$ の $2$p$ 進展開という)
(2)正整数 $2$a$ に対して $2$a!$ は素数 $2$p$ のベキ $2$p^m$ で割り切れるが $2$p^{m+1}$ で割り切れないとき
$2$\displaystyle m=\sum^\infty_{i=1}\left[\frac{a}{p^i}\right]=\frac{a-(a_0+a_1+\cdots+a_k)}{p-1}$
であることを示せ。ただし $2$a_0,\/a_1,\/\cdots,\/a_k$ は $2$a$ の $2$p$ 進展開で現れた $2$p-1$ 以下の非負整数である。

以下は「代数入門」の解答です。

解)(2)帰納法で示す。 $2$a=q_1p+a_0,\/0\leq a_0\leq p-1$ とすると $2$q_1=\left[\frac{a}{p}\right]$ であり、 $2$a!\/=q_1!\/p^{q_1}b,$ $2$b$ は $2$p$ で割り切れない、と書けることが分かる。帰納法の仮定によって $2$q_1!$ をちょうど割り切る $2$p$ のベキ $2$p^{m_1}$ は
$2$\displaystyle m_1=\sum^\infty_{l=1}\left[\frac{q_1}{q^l}\right]=\sum^\infty_{l=1}\left[\frac{a}{p^{l+1}\right]$
で与えられる。したがって
$2$\displaystyle m=q_1+m_1=\left[\frac{a}{p}\right]+\sum^\infty_{l=1}\left[\frac{a}{p^{l+1}\right]=\sum^\infty_{l=1}\left[\frac{a}{p^l}\right]$
で与えられる。また、 $2$i\geq k+1$ であれば $2$\left[\frac{a}{p^i}\right]=0,\/$ $2$1\leq i\leq k$ であれば $2$\left[\frac{a}{p^i}\right]=a_i+a_{i+1}p+\cdots+a_kp^{k-i}$ であるので2番目の等号を得る。

(ここで $2$[]$ はガウス記号です)

分からないところは、解答において
(i)何故 $2$a!=q_1!q^{q_1}b$ と書けると分かるのか
(ii)数学的帰納法がどう使われているのか
の2点です。
稚拙な質問かもしれませんが、どうか宜しくお願いします。

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■41904 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 代数学の証明問題

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□投稿者/ Kanji 一般人(2回)-(2010/06/07(Mon) 22:44:49)

「(i)何故 $2$a!=q_1!p^{q_1}b$ と書けると分かるのか」
でした。すみません。

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■41917 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 代数学の証明問題

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□投稿者/ サボテン付き人(79回)-(2010/06/09(Wed) 13:16:11)

回答がなかなかつかないようなので・・・

1)a!の中にはp,2p,3p,・・・q1p

が因数として含まれます。
これらを全部掛け合わせると、q1!p^(q1)となります。

2)数学的帰納法はa-1以下の数に対して題意が成り立つと仮定しています。

　q1≦a-1なので、帰納法の仮定が適用できて、q1!をちょうど割り切るm1
　がm1=∑[q1/p^l]のように書けるわけです。

　そしてaも同様の関係式が成り立つことを示して、帰納法成立となっています。

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■41922 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 代数学の証明問題

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□投稿者/ Kanji 一般人(3回)-(2010/06/09(Wed) 17:53:05)

親切なご回答有難うございます。
(i)についてはよく分かりました。
(ii)についても帰納法の構造が分かりました。
あまり高校数学で出会わない形なので混乱してしまいました…。
また質問させて頂くことがあるかもしれませんが、どうか宜しくお願いします。

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