 | ■No4190に返信(monoさんの記事)
１について：
関数といったときは定義域を明確に表さなければなりません。
定義域が実数全体Rのときのf(x)=x^2は逆関数を持ちませんが、
定義域を非負実数全体にすれば逆関数g(x)=√xを持ちます。
さて、実は任意の点a∈Rについて、そのまわりの十分狭い範囲＝局所では
fの逆関数hが定義できることが分かるでしょうか？※
これによって、「fのaにおける逆関数の微分」を矛盾なく定義
することができます。
(もちろんhのとりかたによらないことを示さねばならないですが)
２について：
曲線C：ｘ＾2+ｙ＾4＝1はもちろん関数ではありません。
ところが、この場合も１と似ていて
任意の点(a,b)∈Cに対してaの十分近くである関数h(x)が存在し
その範囲でx^2+{h(x)}^4=1を満たします。※
hによって、yがxの関数のように振舞うわけです。
例えば(0,1)∈Cに対してはh(x)＝(1-x^2)^(1/4)とすればよいです。
hのように局所的に関数が決まるので、このような場合
yをxの陰関数とよぶことがあります。
(局所的には関数として扱えるという雰囲気)
陰関数のaにおける微分係数∂y/∂xは、今の場合dh/dxで定義します。
(もちろんhのとりかたによらないことは示さねばなりません)
１，２の※の事実を「陰関数定理」と呼びます。(大学1年生位の内容)
どんな関数、曲線に対しても成り立つ事実ではもちろんありません。
３について：
方程式とは未知数を含む等式のことです。
等式はちゃんとした定義はないですが、＝で結ばれている式のことです。
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