数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: デカルト座標、極座標 / Page: 0]

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■41884 / inTopicNo.1)

　デカルト座標、極座標

□投稿者/ 浩二一般人(1回)-(2010/06/06(Sun) 09:14:20)

数学の問題です。どなたか詳しく解き方と答えを教えてくださいませんか？
できれば早めにお願いします。

１）デカルト座標(5、2)を極座標0≤θ＜２πに変換してください。
r=
θ=
２）極方程式r=3sin(θ)をデカルト方程式(equation)として書き直してください。
*答えを方程式(equation)にとして、だして下さい。例：y=3x^2+1, 2+x+y=3
また、変数が質問と合っていることを確認お願いします。
3)-2sin^2(x)-1cos(x)=-1を解いてください。
最も小さい負でない解は？
次の最も小さい負でない解は？

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■41887 / inTopicNo.2)

　Re[1]: デカルト座標、極座標

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□投稿者/ 爾志一般人(2回)-(2010/06/06(Sun) 09:53:42)

(1)
極座標(r, θ)とデカルト座標(x, y)の関係は、x = r cos(θ), y = r sin(θ)なので、
x^2 + y^2 = r^2
θ = tan^{-1}(y/x)

だから、(x, y) = (5, 2)のとき、
r = √29
θ = tan^{-1}(2/5)

(2)
r = 3 sin(θ) = 3 ・(y/r)となるから、r^2 = 3 y
これをさらに書き換えると、
x^2 + y^2 = 3 y

(3)
1 - sin^2(x) = cos^2(x)の関係を使えば、
2 cos^2(x) - cos(x) - 1 = (2 cos x + 1)(cos x - 1) = 0
となるから、
cos x = -1/2, 1

あとは自分で考えてね。

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■41896 / inTopicNo.3)

　Re[2]: デカルト座標、極座標

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□投稿者/ 浩二一般人(2回)-(2010/06/07(Mon) 15:54:45)

ありがとうございます。
問い３は3)-2sin^2(x)-1cos(x)=-1
2sin^2(x)+cos(x)=1
2(1-cos^2(x))+cos(x)=1
2cos^2(x)-cos(x)-1=0
cos(x)=(1±3)/4=1 or -1/2
x=0,x=π、x=-π/3

最も小さい負でない解=0
次の最も小さい負でない解=π
で合ってますか？

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■41899 / inTopicNo.4)

　Re[1]: デカルト座標、極座標

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□投稿者/ 爾志一般人(3回)-(2010/06/07(Mon) 18:31:22)

> cos(x)=(1±3)/4=1 or -1/2

この部分がなぜこうするのかわかりませんが、結局、僕の求めたのと一緒になりますよね。
cos x = -1/2 と cos x = 1 というのは。

それで最後の答え方で気になっていたのが、xの範囲は０～2πでいいのかな？ということです。
この範囲で考えると、x はすべて負でなくなりますね。

xの範囲が０～2πでいいなら、あとは cos x のグラフを描けばわかります。
cos x = 1 を満たすのは、x = 0(0度) と 2π(360度)
cos x = -1/2 を満たすのは、x = 2π/3(120度) と 4π/3(240度)
となるから、
小さい順に２つ解を求めると、
x = 0, 2π/3
となります。

仮に x の範囲が-π～πであっても、負でない解は、x = 0, 2π/3 で同じですね。

それと、(2)の答は、x^2 + y^2 = 3y をさらに変形して、
x^2 + (y - 3/2)^2 = (3/2)^2
となるので、これは中心が (x, y) = (0, 3/2) で半径 3/2 の円の式を意味します。

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