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■4180 / inTopicNo.1)

　整数

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□投稿者/ 琢也一般人(4回)-(2005/09/21(Wed) 23:38:44)

方程式1/x+1/2y+1/3z＝4/3・・・①を満たす正の整数（x,y,z)について考える
１．x=1のとき正の整数y,zの組をすべてもとめよ。
２．xのとりうる値の範囲を求めよ
３．方程式①をとけ

をお願いします。

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■4185 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 整数

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□投稿者/ moomin 付き人(66回)-(2005/09/22(Thu) 10:56:45)
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~g441069/HP/

■No4180に返信(琢也さんの記事)

一般に初等的な整数問題においては
整数のもつ基本的性質
①割り算が出来る
②離散的な大きさを持つ
③素因数分解の一意性
を主に使います。(実は③は①から出るのですが)

今の場合②を使います。
例えば１は

1/2y+1/3z=1/3なる(y,z)を求めることですが、

・y≧zの場合
　1/3＝1/2y+1/3z≦5/6z　⇔　z≦5/2
なので※z=1,2しかありえません。

※のところで②を使いました。
(式変形でzを「上からの」評価でおさえていることに注意！
こうすることで実際にzを絞ることができます。zを上からおさえるテクニックは
基本的なものですが、慣れていないと小難しく感じてしまうかもしれません。
しかし、問題の難所は最初に②を使おうと思えるかどうかにあります。)

y≦zの場合も同様にしてyのとるべき値の範囲を絞ることが出来ます。
２以降も同様にできるのでやってみてください。

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■4186 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 整数

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□投稿者/ X ベテラン(206回)-(2005/09/22(Thu) 11:09:11)

①を
1/x+1/(2y)+1/(3z)＝4/3
のタイプミスとみて解きます。

１．
条件のとき①は
1+1/(2y)+1/(3z)＝4/3
これより
2yz-2y-3z=0
∴(2y-3)(z-1)=3 (B)
ここでy,zは正の整数ですから
2y-3、z-1は2y-3≧-1、z-1≧0 なる整数　(C)
と言うことで(B)、(C)を満たす(2y-3,z-1)の組をまず求めましょう。

２．
①より
1/(2y)+1/(3z)＝4/3-1/x　(D)
ここでy,zは正の整数ですから
0<1/(2y)≦1/2、0<1/(3z)≦1/3
よって(D)より
0<4/3-1/x≦5/6 (E)
更にxも正の整数ゆえ
1≦x (F)
(E)、(F)を連立不等式と見て解きます。

３．
２．の結果よりxの値は何個かに定まりますので、そのxの値各々について、１．と同じようにy,zを計算していきます。

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