 | 2005/09/22(Thu) 12:41:11 編集(投稿者)
とにもかくにもまず問題の面積(Sとします)をで表してみましょう。
y=x^2-xと y＝mx
との交点のx座標は0,m+1
同様に
y=x^2-xと y＝nx
との交点のx座標は0,n+1
よって
m>n>0 (A)
より
S=∫[0→m+1]{mx-(x^2-x)}dx-∫[0→n+1]{nx-(x^2-x)}dx
={(1/2)m(m+1)^2-(1/3)(m+1)^3+(1/2)(m+1)^2}-{(1/2)n(n+1)^2-(1/3)(n+1)^3+(1/2)(n+1)^2}
={(1/2)m-(1/3)(m+1)+1/2}(m+1)^2-{(1/2)n-(1/3)(n+1)+1/2}(n+1)^2
=(1/6)(m+1)^3-(1/6)(n+1)^3
=(1/6)(m-n){(m+1)^2+(m+1)(n+1)+(n+1)^2}
となるから条件のとき
(1/6)(m-n){(m+1)^2+(m+1)(n+1)+(n+1)^2}=37/6
これより
(m-n){(m+1)^2+(m+1)(n+1)+(n+1)^2}=37
ここで37は素数であり(A)より
(m+1)^2+(m+1)(n+1)+(n+1)^2≧2^2+2・2+2^2=12
よって
m-n=1 (B)
(m+1)^2+(m+1)(n+1)+(n+1)^2=37 (C)
(B)(C)をm,nの連立方程式とみて解きます。
|
