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[命題] m∈Nとし,χ∈DC(m):={χ;χはmを法とするとDirichlet指標}でmの素因数分解をm=Π_{i=1}^r p_i^{e_i} (但し,e_i∈N)とすると
χ=Π_{i=1}^r φ_{p_i^{e_i}} (但し,∀a∈Zに対して,φ_{p_i^{e_i}}(a)=χ(b)で,bは b_i≡a(mod p_i^{e_i}),b≡1(mod p_j^{e_j}) (i≠j)を満たす)
GS(χ)=zΠ_{i=1}^r GS(φ_{p_i^{e_i}}) (但し,z∈Cは|z|=1。GS(χ)はDirichlet指標χに関するGauss和を表す)。
[証]
今,GCD{p_1^{e_1},Π_{i=2}^r p_i^{e_i}}=1なので∃t_1,u_1∈Z; 1=t_1p_1^{e_1}+u_1Π_{i=2}^r p_i^{e_i}
よって GS(χ)=φ_{p_1^{e_1}}(u_1)~φ_{Π_{i=2}^r p_i^{e_i}}(t_1)~ GS(φ_{p_1^{e_1}})GS(φ_{Π_{i=2}^r p_i^{e_i}})
(但し,~は共役複素数を表す)。
続いて,GS(φ_{Π_{i=2}^r p_i^{e_i}})
=φ_{p_2^{e_2}}(u_2)~φ_{Π_{i=3}^r p_i^{e_i}}(t_2)~ GS(φ_{p_2^{e_2}})GS(φ_{Π_{i=3}^r p_i^{e_i}})。
続いて,GS(φ_{Π_{i=3}^r p_i^{e_i}})
=φ_{p_3^{e_3}}(u_3)~φ_{Π_{i=4}^r p_i^{e_i}}(t_3)~ GS(φ_{p_3^{e_3}})GS(φ_{Π_{i=4}^r p_i^{e_i}})。
：
続いて,GS(φ_{Π_{i=r-1}^r p_i^{e_i}})
=φ_{p_{r-1}^{e_{r-1}}}(u_{r-1})~φ_{Π_{i=r}^r p_i^{e_i}}(t_{r-1})~ GS(φ_{p_{r-1}^{e_{r-1}}})GS(φ_{Π_{i=r}^r p_i^{e_i}})。
以上より,
GS(χ)=φ_{p_1^{e_1}}(u_1)~φ_{Π_{i=2}^r p_i^{e_i}}(t_1)~
・φ_{p_2^{e_2}}(u_2)~φ_{Π_{i=3}^r p_i^{e_i}}(t_2)~
・ φ_{p_3^{e_3}}(u_3)~φ_{Π_{i=4}^r p_i^{e_i}}(t_3)~
…
・φ_{p_{r-1}^{e_{r-1}}}(u_{r-1})~φ_{Π_{i=r}^r p_i^{e_i}}(t_{r-1})~
・GS(φ_{p_{r-1}^{e_{r-1}}})GS(φ_{Π_{i=r}^r p_i^{e_i}})
と因数分解できる所まで行けましたが
φ_{p_1^{e_1}}(u_1)~φ_{Π_{i=2}^r p_i^{e_i}}(t_1)~
・φ_{p_2^{e_2}}(u_2)~φ_{Π_{i=3}^r p_i^{e_i}}(t_2)~
・ φ_{p_3^{e_3}}(u_3)~φ_{Π_{i=4}^r p_i^{e_i}}(t_3)~
…
・φ_{p_{r-1}^{e_{r-1}}}(u_{r-1})~φ_{Π_{i=r}^r p_i^{e_i}}(t_{r-1})~
の部分が絶対値が1の複素数になるのかどうしてもわかりません。
どのようにすればいいのでしょうか?
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