数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 数列の極限 / Page: 0]

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■41745 / inTopicNo.1)

　数列の極限

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□投稿者/ skyd 一般人(1回)-(2010/05/22(Sat) 23:53:18)

n→∞の時、数列bn=α^n-β^nが収束するα,βを求めよ。
bnをどう式変形したらよいのか分かりません。どなたか教えて下さい

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■43539 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列の極限

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□投稿者/ シャロン一般人(7回)-(2011/03/09(Wed) 15:38:14)

$2$\alpha=\beta$ なら $2$b_n=0$ なので $2$\{b_n\}$ は収束する。

$2$\alpha=-\beta$ なら、 $2$b_{2n-1}=2\alpha^{2n-1}$ 、 $2$b_{2n}=0$ であり、 $2$-1<\alpha<1$ のときにのみこれらの極限が一致し、 $2$\{b_n\}$ が収束する。このとき、 $2$-1<\beta<1$

$2$|\alpha|\ne|\beta|$ なら、 $2$\alpha$ と $2$\beta$ のうち、絶対値の大きいほうを $2$M$ 、小さいほうを $2$m$ として、

$2$b_n=(\alpha-\beta)(\alpha^{n-1}+\alpha^{n-2}\beta+\cdots+\beta^{n-1})$
$2$=(\alpha-\beta)(M^{n-1})(1+\frac mM+\cdots+(\frac mM)^{n-1})$

$2$=(\alpha-\beta)(M^{n-1})\frac{1-(\frac mM)^{n-1}}{1-\frac mM}$

いま、 $2$|M|>|m|$ としたので、 $2$|\frac mM|<1$ であり、等比級数 $2$\frac{1-(\frac m M)^{n-1}}{1-\frac mM}$ は有限な値 $2$\frac{1}{1-\frac mM}$ に収束する。

したがって、 $2$\{b_n\}$ が収束する⇔ $2$M^{n-1}$ が収束する
⇔ $2$-1<M\le1$
⇔ $2$-1<\alpha\le1$ かつ $2$-1<\beta\le1$ (但し、 $2$|\alpha|\ne|\beta|$ なので、 $2$\alpha,\,\beta$ は同時に $2$1$ にはならない。)

整理すると、
$2$\alpha\ne\beta$ なら、 $2$-1<\alpha\le1$ かつ $2$-1<\beta\le1$ (∵ $2$\alpha=-\beta$ なら、 $2$\alpha$ も $2$\beta$ も1にはならない)
また、 $2$\alpha=\beta$ なら、 $2$\alpha=\beta=1$ でも収束するので、 $2$\alpha,\,\beta$ の大小に関わらず、 $2$-1<\alpha\le1$ かつ $2$-1<\beta\le1$ なら収束するといえる。

∴ $2$\{b_n\}$ が収束する条件は、「 $2$-1<\alpha\le1$ かつ $2$-1<\beta\le1$ 」または $2$\alpha=\beta$

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■43543 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 数列の極限

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□投稿者/ miyup 大御所(1240回)-(2011/03/09(Wed) 23:15:17)

■No41745に返信(skydさんの記事)
> n→∞の時、数列bn=α^n-β^nが収束するα,βを求めよ。
> bnをどう式変形したらよいのか分かりません。

①　|α|＞|β|のとき、1＞|β/α|より b[n]＝α^n・{1-(β/α)^n}
②　|α|＜|β|のとき、|α/β|＜1より b[n]＝β^n・{(α/β)^n-1}
③　α＝βのとき、b[n]＝0
④　α＝-βのとき、b[n]＝(-β)^n-β^n＝β^n・{(-1)^n-1}
と変形して

①は |α|＜1 または α＝1 で収束
②は |β|＜1 または β＝1 で収束
③はＯＫ
④は |β|＜1 で収束

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■43544 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 数列の極限

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□投稿者/ シャロン一般人(10回)-(2011/03/10(Thu) 10:38:42)

>miyupさん

私の解答はかえってわかりにくくなってしまいそうですね。
フォローありがとうございます。

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