 | 2010/05/20(Thu) 13:34:09 編集(投稿者)
・ 点P0(x0, y0)
→ 点P0の位置ベクトルは↑p0＝(x0, y0)
・ 直線l:ax+by=c
→ y＝－(a／b)x＋(c／b)
→ 直線lの方向ベクトルは(1, －a／b) つまり、↑d＝(b, －a)
・ 点Hの位置ベクトル↑h＝(x0, y0)－{(ax0+by0-c)／(a^2+b^2)}(a,b)
＝(x0－a(ax0+by0-c)／(a^2+b^2), y0－b(ax0+by0-c)／(a^2+b^2))
→ 点H(x0－a(ax0+by0-c)／(a^2+b^2), y0－b(ax0+by0-c)／(a^2+b^2))
なので、
↑PH＝↑h－↑p0＝(－a(ax0+by0-c)／(a^2+b^2), －b(ax0+by0-c)／(a^2+b^2))を用いて、
↑PH・↑d＝(計算)＝0となれば、↑PH⊥↑dなので、直線PHと直線lは垂直に交わる…①となります。
点Hのx座標, y座標の値をax＋byに代入して、ax＋by＝(計算)＝cとなれば、点Hは直線l上に存在する…②となります。
①, ②がともに成り立てば、
座標平面上で点P0(x0, y0)から直線l:ax＋by=cへ垂線を引いたとき、
この垂線と直線lの交点がHであることがわかります。
(点P0の座標と直線lの方程式から計算して点Hの座標を求める方法もあります。)
垂線の長さは、↑PH＝(－a(ax0+by0-c)／(a^2+b^2), －b(ax0+by0-c)／(a^2+b^2))を用いて、
PH＝√(|↑PH|^2)＝(計算)＝|ax0＋by0－c|／√(a^2＋b^2)となります。
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