 | 整式f(x), g(x)について、(x−1)^2・f(x)＝(x−2)^2・g(x)＋x^3−2x^2−x＋3が成り立つとき、
(x−2)^2・g(x)＋x^3−2x^2−x＋3
＝{(x−1)^2−2x＋3}・g(x)＋{(x−1)^2・x−2x＋3}
＝(x−1)^2・{g(x)＋x}＋(3−2x)・{g(x)＋1}と表せるので、
(x−1)^2・f(x)＝(x−1)^2・{g(x)＋x}＋(3−2x)・{g(x)＋1}より、
(3−2x)・{g(x)＋1}は0になるか(x−1)^2を因数にもつかのどちらかになるが、
3−2x(常に0ではない)は(x−1)^2やx−1を因数にもたないので、
g(x)＋1は0になるか(x−1)^2を因数にもつかのどちらかである。
g(x)＋1＝0の場合、
g(x)＝−1となるが、最高次の係数が1でないので、題意を満たさない。
g(x)＋1＝c(x−1)^2(ただし、cは0でない)の場合、
g(x)＝c(x−1)^2−1(次数は2以上)となるが、題意を満たすときc＝1となり、
g(x)＝1・(x−1)^2−1=x^2−2xである。
よって、題意を満たすg(x)はg(x)＝x^2−2xである。
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