 | 的はずれじゃなく、この問題の核心ですよね。
まず放物線y=ax^2+bx+c が直線y=dx+e と接する場合を考えましょう。
2つのグラフの交点をα、βをすれば、
(ax^2+bx+c)-(dx+e)=a(x-α)(x-β)と書けますね。
交点が近づいて一つになったときが接した場合で、
(ax^2+bx+c)-(dx+e)=a(x-α)^2 となりますね。
つまり多項式で表されるグラフがx=αで接するときは
その引き算は(x-α)^2の項を因数に持つということです。
微分を使って一般の多項式について説明すれば、
多項式で表される2つの式、
y=f(x)、y=g(x) がx=αで接する場合、
h(x)=f(x)-g(x) と置けば、まず、共有点があることから
h(α)=f(α)-g(α)=0なのでh(x)=(x-α)p(x)とおける。
h’(x)=f’(x)-g’(x)だが、x=αでの傾きが等しいから、
h’(α)=f’(α)-g’(α)=0であるので、h(x)はx-αを因数に持つ。
一方、h(x)=(x-α)p(x)からは、
h’(x)=p(x)+(x-α)p’(x) なので、p(x)はx-αを因数に持つ
ことになり、結局h(x)=(x-α)^2・q(x)と書ける。
接点での2乗の因数を持つということです。
さて、この問題の場合２カ所で接しますから、接する点を
x=α、βとすれば、引き算は
(x-α)^2及び(x-β)^2を因数にもつことになります。
式は4次式で4次の係数が1ですから、頭書のように書けます。
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