 | いつもお世話になっております。
[定義] χ∈DC(m):={χ;χは法mのDirichlet指標}の導手がm(cond(χ)=mと記す)の時,χは原始的Dirichlet指標という。
[命題] 2≦m∈Nとし,m=Π_{i=1→k} (p_i)^(e_i)なるe_1,e_2,…,e_k∈N, p_1,p_2,…,p_kは相異なる素数
が存在する。
その時,∀χ∈DC(m)に対して,∃! φ_( (p_i)^(e_i) )∈DC( (p_i)^(e_i) );
χ(a)=Π_{i=1→k} φ( (p_i)^(e_i) )(a)
(但し,φ_( (p_i)^(e_i) )(a)=χ(b_i), b_iは b_i≡a (mod (p_i)^(e_i) )
b_i≡1 (mod (p_j)^(e_j) ),i≠jを満たす)。
[問] 上記の時,χが法mの原始的Dirichlet指標 ⇔ 各φ_{p_i^{e_i}}は法p_i^{e_i}の原始的Dirichlet指標。
の十分性示したいのですが
(証)
cond(χ)＜m(=Π_{i=1→k} (p_i)^(e_i)) (但し,e_i∈N,p_iは相異なる素数) となると仮定する。…♭
cond(χ)=nとおく、明らかにnはmの真の約数である。
nをn=Π_{i=1→k} (p_i)^(f_i)と素因数分解する。
χ’∈DC(n)
nはmより小さいから、あるiに対してf_i＜e_iとなる。
このときφ’_( (p_i)^(f_i) )を以下のように定めれる(∵上記命題)。
φ’_( (p_i)^(f_i) )=χ’(b_i)
ただしb_iは b_i≡a (mod (p_i)^(f_i) )
b_i≡1 (mod (p_j)^(f_j) ),i≠jを満たす
φ’_( (p_i)^(f_i) )(a)=χ'(b_i)=χ(b_i)=φ_( (p_i)^(e_i) )(a)
だから、cond( φ’_( (p_i)^(e_i) ) )≦(p_i)^(f_i)＜(p_i)^(e_i)
となって不合理
以上より♭の仮定は誤りで、cond(χ)=mが成立することがわかる。(終)
という解説なのですが
「χ'(b_i)=χ(b_i)」の箇所の等号がどうしていえるのかわかりません。
どうしてなのでしょうか?
|