 | たびたびすいません。下記の命題で質問です。
[問] k,l,m∈N, m=kl ,GCD{k,l}…【0】とすると,Z_m^*〜Z_k^*×Z_l^* (∵某命題).
その時, ∀f∈DC(m):={f;fは法mのDirichlet指標}…【0.5】に対して ∃! g∈DC(k) and ∃! h∈DC(l) such that ∀a∈Zに対して f(a)=g(a)h(a).
(証)
g(a):=f(b), h(a):=f(c) such that g∈DC(k) and h∈DC(l)
(但し,g(a):=f(b) (bはb≡a(mod k),b≡1(mod l)を満たす)…【1】,h(a):=f(c) (cはc≡a (mod l),c≡1 (mod k)を満たす)…【2】)
と採れる(∵某命題) から
【1】と【2】より b=ks+a=ls'+1, c=kt+1=lt'+a (但しs,s',t,t'∈Z)なので bc-a=(ks+a)(kt+1)-a=k(kst+at+s).
従って,k|bc-a…【3】.
同様にして bc-a=(ls'+a)(lt'+1)-a=l(ls't'+at'+s'), l|bc-a…【4】から
【0】より, kl|bc-a, 故に bc≡a(mod kl), つまり a≡bc (mod m)なので f(a)=f(bc) (∵【0.5】とDirichlet指標の定義)
=f(b)f(c) (∵Dirichlet指標の定義) =g(a)h(a) (∵【1】and【2】).
次に一意性,つまりg,g'∈DC(k), h,h'∈DC(l) such that ∀a∈Zに対してf(a)=g(a)h(a)=g'(a)h'(a)ならg=g', h=h'を示す。
(但し,g(a):=f(b) (bはb≡a(mod k),b≡1(mod l)を満たす)…【5】,h(a):=f(c) (cはc≡a (mod l),c≡1 (mod k)を満たす)…【6】,
g'(a):=f(b') (b'はb'≡a(mod k),b'≡1(mod l)を満たす)…【7】,h'(a):=f(c') (c'はc'≡a (mod l),c'≡1 (mod k)を満たす)…【8】))
今,g(a)=f(b) (∵gの定義) =f(b') (∵【5】and【7】,b≡b' (mod k)より,Dirichlet指標の定義)
=g'(a) (∵【7】).
同様にして【6】and【8】より, h(a)=h'(a)を得る。
という具合に証明したのですがこれで正しいでしょうか?
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