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f∈DC(m):でg(a)=f(b)(但し,bはb≡a(mod k)且つb≡1(mod l)ならg∈DC(k)となる事を示せ
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□投稿者/ cosmo 一般人(3回)-(2010/04/05(Mon) 10:14:15)
 | たびたびすいません。
http://www.crossroad.jp/cgi-bin/bbs/mathbbs/cbbs.cgi#4
の続きです。
[命題] k,l,mを自然数とし,m=klでGCD(k,l)=1とする。この時,
乗法群 Z_m^*について
Z_m^*〜(Z_k^*)×(Z_l^*) (但し,×は直積集合の意味)
となる。
[問]上記の時,f∈DC(m):={f;fは法mのDirichlet指標}
(但し,g(a)=f(b)(但し,bはb≡a(mod k)且つb≡1(mod l)を満たす,つまりg(a)f(ks+a)∧g(a)=f(ls'+1)…【1】)
この時,g∈DC(k)となる事を示せ。
という問題です。
(i) c≡d (mod k)ならg(c)=g(d),
(ii) g(1)=1,
(iii) GCD{a,k}≠1 なら g(a)=0
は示せたのですが
(iv) g(cd)=g(c)g(d)がなかなか示せません。
g(c)g(d)=f(ks+c)f(ks''+d) ∧ g(c)g(d)=f(ks+c)f(ls'''+1) ∧g(c)g(d)=f(ls'+1)f(ks''+d) ∧g(c)g(d)=f(ls'+1)f(ls'''+1)
⇔
g(c)g(d)=f((ks+c)(ks''+d)) ∧g(c)g(d)=f((ks+c)(ls'''+1)) ∧g(c)g(d)=f((ls'+1)(ks''+d)) ∧g(c)g(d)=f((ls'+1)(ls'''+1))
⇔
g(c)g(d)=f(ss'k^2+(cs''+sd)k+cd) ∧g(c)g(d)=f(ss'''kl+ks+cls'''+c) ∧g(c)g(d)=f(lks's''+lds'+ks''+d) ∧g(c)g(d)=f(s's''l^2+(s'+s''')l+1)
⇔
g(c)g(d)=f((ss'k+(cs''+sd))k+cd) ∧g(c)g(d)=f(ss'''kl+ks+cls'''+c) ∧g(c)g(d)=f(lks's''+lds'+ks''+d) ∧g(c)g(d)=f((s's''l+(s'+s'''))l+1)
⇔
g(cd)=f((ss'k+(cs''+sd))k+cd) ∧g(c)g(d)=f(ss'''kl+ks+cls'''+c) ∧g(c)g(d)=f(lks's''+lds'+ks''+d) ∧g(cd)=f((s's''l+(s'+s'''))l+1)
(∵(ss'k+(cs''+sd))k+cd≡cd (mod k), (s's''l+(s'+s'''))l+1≡1 (mod l)
から
g(cd)=f((ss'k+(cs''+sd))k+cd) ∧g(cd)=f(ss'''kl+ks+cls'''+c) ∧g(cd)=f(lks's''+lds'+ks''+d) ∧g(cd)=f((s's''l+(s'+s'''))l+1)
に持っていければg(c)g(d)=g(cd)を示せた事になるのですが
どうすれば
g(c)g(d)=f(ss'''kl+ks+cls'''+c) ∧g(c)g(d)=f(lks's''+lds'+ks''+d)
から
g(cd)=f(ss'''kl+ks+cls'''+c) ∧g(cd)=f(lks's''+lds'+ks''+d)
が示せますでしょうか?
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