数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[7]: カルダノの方法で / Page: 0]

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■41295 / inTopicNo.1)

　カルダノの方法でx^3+6x^2+18x+18=0の解を求めているのですが、4の３乗根と－２の３乗根が求められません

□投稿者/ さき一般人(4回)-(2010/04/01(Thu) 19:16:48)

x^3+6x^2+18x+18=0・・・①
y=x+2とおくと、x=y-2より①に代入すると
(y-2)^3+6(y-2)^2+18(y-2)+18=0から
y^3+6y-2=0・・・②
ここで、
u+v=y,uv=-2とすると
y^3=(u+v)^3=(u^3+v^3)+3uv(u+v)=(u^3+v^3)-6yより
y^3+6y-(u^3+v^3)=0・・・③
②③より(u^3+v^3)=2・・・④
uv=-2の両辺を３乗して、u^3v^3=-8・・・⑤
④⑤よりu^3,v^3を解とする２次方程式をつくることができ、次のように表せる。
z^2-2z-8=0
よって、z=4,-2
どちらがu,vでもxとyは変わらないので、
u^3=4,v^3=-2とする

ここで、4の３乗根と－２の３乗根が求められません。
ぜひ、アドバイスをお願い致します。また、もしよろしければxの値を求めるまでの展開を教えていただければと思います。

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■41303 / inTopicNo.2)

　Re[1]: カルダノの方法で

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□投稿者/ らすかる大御所(780回)-(2010/04/01(Thu) 23:30:07)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

「2の2乗根」は求められますか？

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■41310 / inTopicNo.3)

　Re[2]: カルダノの方法で

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□投稿者/ さき一般人(6回)-(2010/04/02(Fri) 10:54:36)

らすかる様ありがとうございます。
２の２乗根は±√2です。

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■41311 / inTopicNo.4)

　Re[3]: カルダノの方法で

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□投稿者/ K.M. 一般人(4回)-(2010/04/02(Fri) 14:49:35)
http://www1.bbiq.jp/k_miyaga/

（3乗根）√4　,(3乗根)√-2　等も（√2と同様に）それで終わりです。

実係数の3次方程式：x^3+3px+q=0 は
4p^3+q^2＞0 のとき、一つの実数解と二つの虚数解を持つので
(上の計算が間違いなければ)
x=4^(1/3)+(-2)^(1/3)　とあと二つ、ω(4^(1/3))+ω^2((-2)^(1/3))
ω((-2)^(1/3))+ω^2(4^(1/3))

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■41313 / inTopicNo.5)

　Re[4]: カルダノの方法で

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□投稿者/ らすかる大御所(781回)-(2010/04/02(Fri) 19:35:25)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

K.M.さんが書かれているのはyの値ですので、xは
4^(1/3)-2^(1/3)-2, 4^(1/3)ω-2^(1/3)ω^2-2, 4^(1/3)ω^2-2^(1/3)ω-2
の3つになります。

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■41345 / inTopicNo.6)

　Re[5]: カルダノの方法で

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□投稿者/ さき一般人(7回)-(2010/04/05(Mon) 14:10:46)

■No41313に返信(らすかるさんの記事)
> K.M.さんが書かれているのはyの値ですので、xは
> 4^(1/3)-2^(1/3)-2, 4^(1/3)ω-2^(1/3)ω^2-2, 4^(1/3)ω^2-2^(1/3)ω-2
> の3つになります。

u+v=y, uv=-2, u^3=4, v^3=-2 からどのように計算すれば、アドバイスいただいたようなy、そして、xの値を求められるのでしょうか？
お手数おかけ致しますが、宜しくお願い致します。

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■41347 / inTopicNo.7)

　Re[6]: カルダノの方法で

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□投稿者/ らすかる大御所(785回)-(2010/04/05(Mon) 15:46:46)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2010/04/05(Mon) 23:55:58 編集(投稿者)

u^3=4 から u=4^(1/3), 4^(1/3)ω, 4^(1/3)ω^2 です。
v^3=-2 から v=-2^(1/3), -2^(1/3)ω, -2^(1/3)ω^2 です。
uv=-2 となるのは (u,v)=
(4^(1/3), -2^(1/3))
(4^(1/3)ω, -2^(1/3)ω^2)
(4^(1/3)ω^2, -2^(1/3)ω)
の3組ですから、yは
4^(1/3)-2^(1/3)
4^(1/3)ω-2^(1/3)ω^2
4^(1/3)ω^2-2^(1/3)ω
の3つとなり、xはそれから2を引いた値になります。

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■41348 / inTopicNo.8)

　Re[7]: カルダノの方法で

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□投稿者/ さき一般人(9回)-(2010/04/05(Mon) 21:22:32)

■No41347に返信(らすかるさんの記事)
> u^3=4 から u=4^(1/3), 4^(1/3)ω, 4^(1/3)ω^2 です。
> v^3=-2 から v=-2^(1/3), -2^(1/3)ω, -2^(1/3)ω^2 です。
> uv=-2 となるのは (u,v)=
> (4^(1/3), v=-2^(1/3))
> (4^(1/3)ω, v=-2^(1/3)ω^2)
> (4^(1/3)ω^2, v=-2^(1/3)ω)
> の3組ですから、yは
> 4^(1/3)-2^(1/3)
> 4^(1/3)ω-2^(1/3)ω^2
> 4^(1/3)ω^2-2^(1/3)ω
> の3つとなり、xはそれから2を引いた値になります。

らすかる様いつもわかりやすくご説明いただきありがとうございます。

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