 | こんにちは。
[命題] k,l,mを自然数とし,m=klでGCD(k,l)=1とする。この時,
乗法群 Z_m^*について
Z_m^*〜(Z_k^*)×(Z_l^*) (但し,×は直積集合の意味)
となる。
[問]上記の時,f∈DC(m):={f;fは法mのDirichlet指標},g∈DC(k),h∈DC(l)とすると
f(a)=g(a)h(a)が成り立つ。
(但し,g(a)=f(b)(但し,bはb≡a(mod k)且つb≡1(mod l)を満たす),h(a)=f(c)(但し,cはc≡1(mod k)且つc≡a(mod l)を満たす))
と言う問題なのですが
[証]
bはb≡a(mod k)且つb≡1(mod l)からb=ks+a=ks'+1,
cはc≡1(mod k)且つc≡a(mod l)からc=kt+1=kt'+a (但し,s,s',t,t'∈Z)と書ける。
よって2b=ks+ls'+a+1,2c=kt+lt'+a+1でb=(ks+ls'+a+1)/2,c=(kt+lt'+a+1)/2で
これからg(a)h(a)=f(b)f(c)(∵g,hの定義) =f(bc) (∵Dirichlet指標の定義)
=f((ks+ls'+a+1)(kt+lt'+a+1)/4)から
f(a)に持っていくにはどうすればいいのでしょうか?
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