数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 倍数 / Page: 0]

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■41037 / inTopicNo.1)

　倍数

□投稿者/ アミン一般人(1回)-(2010/03/11(Thu) 00:39:01)

pを3以上の素数、a、bを自然数とする。
a+bとabがともにpの倍数ならば、a^n+b^nはpの倍数であるか。

予想としてはpの倍数になりそうです。n=2、3あたりでは確認できました。
帰納法だと思いますが、

a^(k+1)+b^(k+1)=(a^k+b^k)(a+b)-ab(a^(k-1)+b^(k-1))となり、条件と仮定から、a^k+b^kとa+bとabはpの倍数ですが、a^(k-1)+b^(k-1)だけがpの倍数かどうかわからず、帰納法では証明できそうにないです。ということはa^n+b^nはpの倍数ではないということでしょうか。
どなた様かお願いします。

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■41038 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 倍数

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□投稿者/ だるまにおんファミリー(162回)-(2010/03/11(Thu) 01:07:43)

2010/03/11(Thu) 01:11:49 編集(投稿者)

$2$a^n + b^n=\left( a+b \right)^n - ab\sum\limits_{k = 1}^{n-1} { _{n}C_{k}}a^{n-k-1}b^{k-1}$ なので、 $2$a^n+b^n$ は $2$p$ の倍数です。

帰納法で示すなら、 $2$a^k+b^k$ と $2$a^{k-1}+b^{k-1}$ がどちらも $2$p$ の倍数であると仮定すればよいです。

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■41039 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 倍数

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□投稿者/ アミン一般人(2回)-(2010/03/11(Thu) 01:39:30)

お返事ありがとうございます^^
最後の、a^(k-1)+b^(k-1)もpの倍数であることを仮定すればよい、のところですが、帰納法の仮定はn=kのときに対してですよね。勝手にa^(k-1)+b^(k-1)もpの倍数などとしてしまってよいのですか？

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■41040 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 倍数

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□投稿者/ だるまにおんファミリー(163回)-(2010/03/11(Thu) 02:01:53)

>勝手にa^(k-1)+b^(k-1)もpの倍数などとしてしまってよいのですか？
なにか都合が悪いことでもありますか？

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■41041 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 倍数

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□投稿者/ アミン一般人(3回)-(2010/03/11(Thu) 02:07:47)

＞なにか都合が悪いことでもありますか？
いえ、そう言われても困るんですが、帰納法はn=kのときを正しいものと仮定してn=k+1のときも正しいことを証明すると教わったし、教科書なんかもそうなっていますが、勝手に仮定を増やすということをしてよいのかが理解できないです。

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■41042 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 倍数

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□投稿者/ だるまにおんファミリー(164回)-(2010/03/11(Thu) 02:11:00)

n=kのときa^(k-1)+b^(k-1)とa^k+b^kがpの倍数であるという命題が正しいとして、n=k+1のときも正しいことを証明すればよいのですから、教わったとおりの教科書なんかにも書いてある、いたって普通の帰納法ですね。

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■41045 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 倍数

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□投稿者/ prime_132 一般人(2回)-(2010/03/11(Thu) 20:19:26)

ab がpの倍数　→　a、bの少なくとも一方はpの倍数。
a+b もpの倍数　→　他方もpの倍数。
なので、a^n + b^n は p^n の倍数でつね。

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■41046 / inTopicNo.8)

　Re[5]: 倍数

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□投稿者/ miyup 大御所(1043回)-(2010/03/11(Thu) 21:16:21)

この場合は３項間の漸化式と同じで
n=k-1,k のとき正しいと仮定した上で、n=k+1 のとき正しいことを導き出す形です。

従って、初期条件として n=1,2 のときが正しければ
以下順に
n=1,2 で正しいので n=3 で正しい
n=2,3 で正しいので n=4 で正しい
n=3,4 で正しいので n=5 で正しい
…
となって、すべての n で正しいことになります。

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