数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 導関数の問題なんですが。 / Page: 0]

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■4103 / inTopicNo.1)

　導関数の問題なんですが。

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□投稿者/ cia 一般人(1回)-(2005/09/19(Mon) 12:42:24)

f(x＋y)＝f(x)＋f(y) が全ての実数x、yに対して成り立っているとき、全ての0でない整数ｎに対して、f(1/ｎ)=f(1)/ｎであることを示せ。

この証明方法が分かりません。教えてください!!

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■4106 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 導関数の問題なんですが。

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□投稿者/ だるまにおん大御所(324回)-(2005/09/19(Mon) 12:53:55)

例えば、n=5のときで考えてみましょう。
f(1)=f(1/5+4/5)
=f(1/5)+f(4/5)
=f(1/5)+f(1/5+3/5)
=f(1/5)+f(1/5)+f(3/5)
=f(1/5)+f(1/5)+f(1/5+2/5)
=f(1/5)+f(1/5)+f(1/5)+f(2/5)
=f(1/5)+f(1/5)+f(1/5)+f(1/5+1/5)
=f(1/5)+f(1/5)+f(1/5)+f(1/5)+f(1/5)
=5f(1/5)
∴f(1)=5f(1/5)　∴f(1/5)=f(1)/5
同様にすれば全ての自然数nについて同じように証明ができます

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■4107 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 導関数の問題なんですが。

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□投稿者/ だるまにおん大御所(325回)-(2005/09/19(Mon) 13:02:09)

2005/09/19(Mon) 15:43:24 編集(投稿者)

f(x+y)=f(x)+f(y)
y=0を代入すると
f(x)=f(x)+f(0)　∴f(0)=0
y=-xを代入すると
f(0)=f(x)+f(-x)　∴-f(x)=f(-x)・・・★

負の整数のときも成り立つことをしめしましょう
n<0のとき、n=-mとおくと、m>0
f(1/n)=f(-1/m)=-f(1/m)=-f(1)/m=f(1)/nですね。
(途中で、★と自然数nについて成立することを使いました。)

それにしても、どこが導関数の問題なんでしょうか・・・

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■4122 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 導関数の問題なんですが。

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□投稿者/ cia 一般人(2回)-(2005/09/19(Mon) 19:53:35)

ありがとうございました!!
私もどこが導関数の問題なのか分かりませんでした…。

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■4123 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 導関数の問題なんですが。

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□投稿者/ だるまにおん大御所(330回)-(2005/09/19(Mon) 21:01:35)

2005/09/20(Tue) 01:23:55 編集(投稿者)

不思議ですね。まぁ色々事情があったのでしょう。

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■4133 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 導関数の問題なんですが。

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□投稿者/ moomin 付き人(63回)-(2005/09/20(Tue) 00:18:46)
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~g441069/HP/

■No4123に返信(だるまにおんさんの記事)

ヨコから失礼します。解決済みですし、
もしかしたらもう分かっていることかもしれませんが
一応Remarkをつけさせていただきます。

ｆが微分可能な関数ならば※

f'(x)＝lim[y→0]{f(x＋ｙ)-ｆ(x)}/y＝lim[y→0]f(y+0)/y＝f'(0)

なのでfはf'(0)x+c (cは定数)
というような関数になります。
f(0+0)＝f(0)+f(0)よりf(0)＝0なのでc=0です。
そうすると求めるべき式は自明に成り立っています。

一般には※が成り立たないのでやはり導関数の
問題ではないということでしょうか。

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■4136 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 導関数の問題なんですが。

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□投稿者/ だるまにおん大御所(337回)-(2005/09/20(Tue) 01:23:15)

なるほど、f(x)が微分可能なときはf(x)の正体が分かっちゃうんですね。
面白いですね。ありがとうございました。

解決済み!

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