数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 指数と平方 / Page: 0]

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■41020 / inTopicNo.1)

　指数と平方

□投稿者/ カリン一般人(1回)-(2010/03/09(Tue) 00:33:39)

n^2+3^nが平方数になるような自然数nをすべて求めよ。
n^2+3^b=m^2とおいて、いろいろやったら、3^n=(m+n)(m-n)から、

m+n=3^p
m-n=3^q
p+q=nかつp＞q

というところまで到達しました(合ってるかは不明…)。ここからの進め方がよくわからないので教えてください。お願いします。
この問題はどこかの入試問題らしいのですが、出典を知っていらっしゃったらそちらの方も教えていただけないでしょうか。お願いします。

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■41021 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 指数と平方

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□投稿者/ サボテン付き人(54回)-(2010/03/09(Tue) 09:19:30)

ここまで求まってらっしゃるなら、答えに辿り着いたようなものです。
m+n=3^p
m-n=3^q

より、n=(3^p - 3^q)/2=3^n(1 - 3^(-p))/2

1)p≧1の場合、 (1 - 3^(-p))/2≧1/3
よってn≧3^(n-1)

このようなnはn=1しか存在しません。

2)p=0の場合、n=0となり不適。

よってn=1が答えです。

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■41025 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 指数と平方

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□投稿者/ だるまにおんファミリー(160回)-(2010/03/09(Tue) 10:18:45)

2010/03/09(Tue) 11:33:56 編集(投稿者)

$2$3^2+3^3=9+27=36=6^2$ なので $2$n=3$ も答になりそうです。

＞サボテンさん
$2$n=\frac{3^{n} \left(3^{-q}-3^{-p} \right)}{2}$ ではないでしょうか？

＞カリンさん
$2$3^p-3^q=2n\,<\,4p$ より $2$3^{p-1}\,<\,2p$ なので、 $2$p$ の値がしぼれますね。

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■41026 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 指数と平方

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□投稿者/ サボテン付き人(56回)-(2010/03/09(Tue) 10:47:12)

だるまにおんさん、ありがとうございます。
ご指摘の通りですね^^;

カリンさん、すみません。

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■41027 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 指数と平方

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□投稿者/ カリン一般人(2回)-(2010/03/09(Tue) 11:07:11)

サボテンさま　だるまにおんさま

回答ありがとうございます。

だるまにおんさまに二つ質問させてください。
2n＜4pと3^(p-1)＜2pの不等式はどこから出てくるでしょうか。
それと、3^(p-1)＜2pを満たす整数pは2個しかなさそうですが、これはy=3^(p-1)と
y=2pのグラフを考えると、y=3^(p-1)の方がp≧2ではずっと上にあるということがかんけいしているんでしょうか。

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■41028 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 指数と平方

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□投稿者/ だるまにおんファミリー(161回)-(2010/03/09(Tue) 11:32:48)

$2$p\,>\,q$ なので、 $2$p+q\,<\,p+p=2p$
したがって、 $2$2(p+q)\,<\,4p$
つまり、 $2$2n\,<\,4p$

$2$p\,>\,q$ なので、 $2$q \le p-1$
したがって、 $2$3^q \le 3^{p-1}$
それゆえ、 $2$3^p-3^q \ge 3^p-3^{p-1}=2*3^{p-1}$
$2$3^p-3^q\,<\,4p$ だったから、 $2$4p\,>\,2*3^{p-1}$
すなわち、 $2$3^{p-1}\,<\,2p$

>これはy=3^(p-1)とy=2pのグラフを考えると、y=3^(p-1)の方がp≧2ではずっと上にあるということがかんけいしているんでしょうか。
そうなんです、それがかんけいしているんです。

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■41034 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 指数と平方

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□投稿者/ カリン一般人(3回)-(2010/03/10(Wed) 14:41:48)

やっとりかいできました。ありがとうございました。

解決済み!

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