 | まあ、でも答案ではちゃんと証明したほうがいいように思います。そんなに面倒ではないオーソドックスな方法を紹介します。
f(x)=x/(x+1) とおきます。
f(x)=x/(x+1)=1-1/(x+1)
とすれば、双曲線のグラフからわかるように、この関数は
x≧n(>0) において、単調増加で最小値は x=n の時であり、また、x>0でf(x)<1 です。よって、k≧n の時、
1-1/(n+1)≦f(k)=k/(k+1)<1 となります。
したがって（答案に書くときは、いきなり「 k≧n>0で、n/(n+1)≦k/(k+1)<1だから」と書いてもいいと思います。）
∑_{n～2n}log(k/n)/(k+1)=1/n∑_{n～2n}log(k/n)/[(k+1)/n]
=1/n∑_{n～2n}log(k/n)/[k/n]*k/(k+1)
より
（1-1/(n+1))*1/n∑_{n～2n}log(k/n)/[k/n]≦
∑_{n～2n}log(k/n)/(k+1)<1/n∑_{n～2n}log(k/n)/[k/n]
となります。
1/n∑_{n～2n}log(k/n)/[k/n]をI(n) とおけば、n→∞の時 I(n)→I=∫_{1～2}log(x)/x dx
であり、lim_[n→∞] (1-1/(n+1))=1 だから、挟み撃ちの原理で、求める極限値も I となります。
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