 | 2010/02/06(Sat) 07:46:43 編集(投稿者)
非常に面白い問題ですね。
sin6θ
=Im(cos6θ+isin6θ)
=Im(cosθ+isinθ)^6
から六倍角の公式を作ります。
cosθ=c, sinθ=sとすると
sin6θ=6cs^5-20c^3s^3+6c^5s
ゆえ、
y=6cs^5-20c^3s^3+6c^5s-4s+1
です。
ここにsin^2θ+cos^2θ-1=0を拘束条件として極値を考えます。
ラグランジュの未定乗数法を用いて
f(s,c,λ)=6cs^5-20c^3s^3+6c^5s-4s+1-λ(s^2+c^2-1)
連立方程式
∂f/∂s=0
∂f/∂c=0
∂f/∂λ=0
を解けば極値が求まりますので、この値をもとのyに代入して選ぶと終わりです。
θはarcsinかarccosを使えば表せます。
この方法を使えば何倍角の場合でも求まりますね。
|
