数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 周囲の長さが一定の長方形で対角線の長さが最小ものを決定せよ。 / Page: 0]

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■40764 / inTopicNo.1)

　周囲の長さが一定の長方形で対角線の長さが最小ものを決定せよ。

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□投稿者/ math 一般人(1回)-(2010/02/04(Thu) 18:02:14)

周囲の長さが一定の長方形で対角線の長さが最小ものを決定せよ。

という問題を解くことができません。
解答をよろしくお願いします！

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■40766 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 周囲の長さが一定の長方形で対角線の長さが最小ものを決定せよ。

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□投稿者/ ottfoekst 一般人(2回)-(2010/02/04(Thu) 19:45:07)

周囲の長さを $2$2l$ (一定)とし、縦の長さを $2$x$ とおくと横の長さは $2$l-x$ であるから、三平方の定理から対角線の長さ $2$r(x)$ は、

$2$r(x)=\sqrt{x^2+(l-x)^2}$

である。ルートの中身が最小のとき $2$r(x)$ も最小であるから、 $2$f(x)=x^2+(l-x)^2$ とおき平方完成すると、
$2$f(x)=2\left(x-\frac{l}{2}\right)^2+\frac{l^2}{2}$

となるから、最小値は $2$x=\frac{l}{2}$ 、つまり正方形のときで対角線の長さは $2$\frac{l}{\sqrt{2}}$ である。

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■40767 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 周囲の長さが一定の長方形で対角線の長さが最小ものを決定せよ。

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□投稿者/ Celt 一般人(1回)-(2010/02/04(Thu) 19:58:59)

2010/02/04(Thu) 20:01:24 編集(投稿者)

別解です。

長方形の2辺をa,b(>0),対角線をl(>0)とすると
l^2=a^2+b^2
=2×(a^2+b^2)/2
≧2×√(a^2×b^2) (相加相乗平均の大小関係より)
=2ab (a,b>0より)
等号はa=bで成立。
ゆえにlはa=bのとき最小値l=√(2a)をとる。

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■40773 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 周囲の長さが一定の長方形で対角線の長さが最小ものを決定せよ。

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□投稿者/ math 一般人(2回)-(2010/02/04(Thu) 22:22:43)

早い解答ありがとうございました！
丁寧でとてもわかりやすかったです。
とても助かりました(^^)

本当にありがとうございました！

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