数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 高校数学≪図形≫ / Page: 0]

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■40748 / inTopicNo.1)

　高校数学≪図形≫

□投稿者/ あきら一般人(1回)-(2010/02/03(Wed) 21:05:02)

≪問題≫aを正の定数として，座標平面上に
円C:(x-a)^2+y^2=36
放物線C':y=x^2がある。
(1)C'とCが共有点をもたないようなaの範囲を求めよ。
(2)点PがC'上，点QがC上を動くとき，線分PQの長さの最小値が24となるようなaの値を求めよ。

解き方を教えてください＾＾

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■40790 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 高校数学≪図形≫

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□投稿者/ すっとこどっこい軍団(101回)-(2010/02/06(Sat) 13:12:15)

2010/02/06(Sat) 14:30:12 編集(投稿者)

少し見づらいかもしれませんが、グラフの図を添付しますので、参考にして下さい。
赤色は共有点を2個もつ場合、緑色は接する場合((1)の場合)、青色は共有点をもたない場合((2)の場合)
それぞれの円Cの位置となります。

(1)
円Cの中心をC(a, 0)(a＞0)とし、a＝a0のときに円Cが放物線C'に接するとすると、
aの値と、円Cと放物線C'の共有点の個数の関係は次のようになる。
i) 0＜a＜a0のとき、円Cと放物線C'の共有点は2個存在する。
ii) a＝a0のとき、円Cと放物線C'の共有点は1個存在する。
iii) a＞a0のとき、円Cと放物線C'の共有点は存在しない。
円Cの中心をC(a, 0)とし、a＝a0のときに円Cが放物線C'に点P(t, t^2)(t＞0)で接するとする。
点Pを通る放物線C'の接線はy＝2tx－t^2なので、この接線とx軸の共有点をA(t／2, 0)とし、
点Pから線分ACへ垂線を引いたとき、その垂線と線分ACとの交点をH(t, 0)とする。
直角三角形AHPと直角三角形PHCは相似なので、AH:PH＝PH:CHより、
t／2:t^2＝t^2:a0－tとなり、t＞0なので、a0－t＝2t^3…①となり、
直角三角形PHCの辺CPは円Cの半径なので、CP＝√(PH^2＋CH^2)より、
6＝√{(t^2)^2＋(a0－t)^2}なので、t^4＋(a0－t)^2＝36…②となる。
①を②に代入すると、t^4＋(2t^3)^2＝36より、4t^6＋t^4－36＝0となり、
この式はu＝t^2(＞0)とおくと、4u^3＋u^2－36＝0となる。
f(u)＝4u^3＋u^2－36とおくと、f(2)＝4・2^3＋2^2－36＝0より、
f(u)はu－2を因数にもつので、f(u)＝(u－2)(4u^2＋9u＋18)となり、
4u^2＋9u＋18＝4(u＋9／8)^2＋207／16＞0なので、
f(u)＝0を満たすu(＞0)の値はu＝2となり、t＞0なので、t＝√2となる。
t＝√2を①に代入することにより、a0＝2t^3＋t＝2・(√2)^3＋√2＝5√2となる。
a0の値とiii)より、円Cと放物線C'が共有点をもたないようなaの範囲は、a＞5√2である。

(2)
放物線C'上を動く点Pと円C上を動く点Qを結ぶ線分PQの長さの最小値が24となるとき、
3つの点P, Q, Cがこの順で同一直線上に存在し、PQ＝24, CQ＝6なので、(1)と同様に、
AH:PH＝PH:CHより、t／2:t^2＝t^2:a－tとなり、t＞0なので、a－t＝2t^3…③となり、
CP＝√(PH^2＋CH^2)より、30＝√{(t^2)^2＋(a－t)^2}なので、t^4＋(a－t)^2＝900…④となる。
③を④に代入すると、t^4＋(2t^3)^2＝900より、4t^6＋t^4－900＝0となり、
この式はu＝t^2(＞0)とおくと、4u^3＋u^2－900＝0となる。
g(u)＝4u^3＋u^2－900とおくと、g(6)＝4・6^3＋6^2－900＝0より、
g(u)はu－6を因数にもつので、g(u)＝(u－6)(4u^2＋25u＋150)となり、
4u^2＋25u＋150＝4(u＋25／8)^2＋1775／16＞0なので、
g(u)＝0を満たすu(＞0)の値はu＝6となり、t＞0なので、t＝√6となる。
t＝√6を③に代入することにより、a＝2t^3＋t＝2・(√6)^3＋√6＝13√6となる。
したがって、放物線C'上の動点Pと円C上の動点Qの距離PQの長さの最小値が24となるとき、a＝13√6である。

641×321 => 250×125

40748.gif/6KB

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■40791 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 高校数学≪図形≫

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□投稿者/ 堪一般人(1回)-(2010/02/06(Sat) 15:16:41)

■No40748に返信(あきらさんの記事)
> (2)点PがC'上，点QがC上を動くとき，線分PQの長さの最小値が24となるようなaの値を求めよ。
>

({X, Y} - {x, y}).({X, Y} - {x, y})=24^2,
(x - a)^2 + y^2 = 36,
Y = X^2,
-a + X = k (-x + X), Y = k (-y + Y),
-2*X = K*(X - a), 1 = (K*Y)
　　　　を解いて　適する解は
{a, x, y, X, Y, k, K}=
{13*Sqrt[6],(53*Sqrt[6])/5,6/5,Sqrt[6],6,5/4,1/6}。

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