 | 自然数nに対し、{10^n-1}/9=11111･･･（1がn個ある）を□nで表す。たとえば、□1=1, □2=11,□3=111である。
（１）mを0以上の整数とする。□3^mは3^mで割り切れるが3^{m+1}では割り切れないことを示せ。
という問題の解答で
１）m=0のとき
□3^0=1は3^0=1で割り切れ、3^{0+1}=3では割り切れない。
２）m=kのとき成立すると仮定すると
m=k+1のとき
□3^{k+1}=111111･･･111
=□3^k(10^{2a}+10^a+1) (a=3^k)
ここで
10^{2a},10^aは9で割るとともに余り1なので,10^{2a}+10^a+1は9で割ると3余る数である。すなわち3で割り切れて3^2で割り切れない。
よって、仮定とあわせると
□3^{k+1}は3^{k+1}で割り切れるが3^{(k+1)+1}では割り切れない。
となっています。
10^{2a},10^aは9で割るとともに余り1なので,10^{2a}+10^a+1は9で割ると3余る数である。というところで、どうして「9で割る」という発想がでてきたのでしょうか。
また、どうして仮定とあわせたことで結論がいえるのでしょうか。
3で割り切れて3^2で割り切れないことからということでしょうか。
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