 | 曲線ｙ＝sinｘの０≦ｘ≦πの部分とｘ軸で囲まれた図形を
ｘ軸のまわりに回転させてできる立体を考える。この立体をｘ軸に
垂直な２ｎ−１個の平面によって体積が等しい２ｎ個の部分に
分割する。ｎは２以上の自然数である。
(1)これら２ｎ−１個の平面とｘ軸の交点のｘ座標のうち、
π/2 より小さくかつ π/2 に最も近いものをａnとする。
lim[ｎ→∞]ｎ・{(π/2)−(ａn)}を求めよ。
(2)２ｎ−１個の平面とｘ軸との交点のｘ座標のうち最も小さいものを
ｂnとする。数列 {(ｎ^p)・(ｂn)}がｎ→∞ のとき０でない
有限な値に収束するような、実数ｐの値を求めよ。またそのときの
lim[ｎ→∞] { (ｎ^p)・(ｂn) } を求めよ。
ただし必要なら ｘ≧０のとき
sinｘ＝ｘ−{(ｘ^3)/3！}＋{(ｘ^5)/ 5！}・・・
が成り立つことを用いてもいい。
僕はまずsinxの回転体の体積を
出して、(π^2)/2
分割した各々の体積が
(π^2)/4n
なので、
∫[an〜π/2]π(sinx)^2dx=(π^2)/4n
を変形して極限を出そうとしたのですが、
nsin(2an)という形が出てきて
つまってしまいました。
何かヒントを頂けないでしょうか？
おねがいします。
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