 | 2010/01/21(Thu) 21:59:47 編集(投稿者)
■No40618に返信(kaeruさんの記事)
> p>0とする。各項が正である２つの数列{a[n]}{b[n]}は次の条件をみたすものとする。
>
> a[1]=3,b[1]=1
> a[n]-a[n-1]=b[n]-b[n-1]+1(n=2,3,4,,,) …①
> (a[n-1]+b[n])(b[n]-b[n-1])=2pn+3-b[n](n=2,3,4,,,) …②
> このとき、次の問を答えよ。
> (1)a[n]-b[n]を求めよ。
①より、a[n]-b[n]＝b[n-1]-a[n-1]+1
よって等差型で
a[n]-b[n]＝n+1 …③
> (2)a[n]b[n]を求めよ。
②式を展開し、b[n]( )-a[n-1]b[n-1]＝2pn+3 として①代入
a[n]b[n]-a[n-1]b[n-1]＝2pn+3
よって階差型で
a[n]b[n]＝pn^2+(p+3)n-2p …④
> (3)lim[n→∞](a[n]^3+b[n]^3)/(a[n]^3-b[n]^3)の値をf(p)とおくとき、
以下 a[n]＝a, b[n]＝b と略す。
(a[n]^3+b[n]^3)/(a[n]^3-b[n]^3)＝(a^3+b^3)/(a^3-b^3)について
(a^3+b^3)^2
＝(a+b)^2・(a^2-ab+b^2)^2
＝{(a-b)^2+4ab}・{(a-b)^2+ab}^2
(a^3-b^3)^2
＝(a-b)^2・(a^2+ab+b^2)^2
＝(a-b)^2・{(a-b)^2+3ab}^2
より、③④代入して
{f(p)}^2＝lim[n→∞](a^3+b^3)^2/(a^3-b^3)^2＝(1+4p){(1+p)/(1+3p)}^2
で
①より a[n]＞b[n]＞0 すなわち (a^3+b^3)/(a^3-b^3)＞0 から
f(p)＝√(1+4p)・(1+p)/(1+3p)
> lim[p→0]1/plogf(p)を求めよ。
これは「 lim[p→0](1/p)・logf(p)を求めよ。」では？
(1/p)・logf(p)
＝logf(p)^(1/p)
＝log{(1+4p)^(1/(2p))・(1+p)^(1/p)／(1+3p)^(1/p)}
で
lim[p→0](1+p)^(1/p)＝e を用いれば計算できます。
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