数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: オイラーの公式 / Page: 0]

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■40554 / inTopicNo.1)

　オイラーの公式

□投稿者/ 桜花一般人(2回)-(2010/01/13(Wed) 20:05:19)

こんばんは。

オイラーの公式

$2$e^{i\theta } = \cos {\theta } + {i}*\sin {\theta }$

を、テーラー展開を用いて証明したいのですが、
証明の仕方を教えて下さい。

よろしくお願いします。

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■40555 / inTopicNo.2)

　Re[1]: オイラーの公式

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□投稿者/ ぽけっと一般人(1回)-(2010/01/13(Wed) 20:15:59)

2010/01/13(Wed) 20:27:19 編集(投稿者)
2010/01/13(Wed) 20:26:30 編集(投稿者)
2010/01/13(Wed) 20:24:26 編集(投稿者)
2010/01/13(Wed) 20:24:19 編集(投稿者)
2010/01/13(Wed) 20:17:39 編集(投稿者)
2010/01/13(Wed) 20:17:31 編集(投稿者)

指数関数 $2$\exp$ の級数を使った定義を書けば

$2$ \exp (x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$

となります. 同様に $2$\sin$ は

$2$ \sin (x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$

と定義され, $2$\cos$ は

$2$ \cos (x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$

で定義されます. 全て複素数体 $2$\mathbb{C}$ から $2$\mathbb{C}$ への写像で, well-definedです. (つまり右辺の級数は各点 $2$x\in \mathbb{C}$ で(絶対)収束するということ.)
この確認は必要ですが, 省略します.

またEulerの公式の証明は, 定義よりすぐ分かります. 定義より,

$2$ \begin{align} \exp (ix) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}+\sum_{l=0}^{\infty}i\frac{(-1)^lx^{2l+1}}{(2l+1)!} \\ &= \cos (x)+i\sin (x) \end{align}$

です.

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■40558 / inTopicNo.3)

　Re[2]: オイラーの公式

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□投稿者/ 桜花一般人(3回)-(2010/01/14(Thu) 12:31:31)

2010/01/14(Thu) 12:37:51 編集(投稿者)

どうもありがとうございます。

> 指数関数 $2$\exp$ の級数を使った定義

この定義に何か名前はあるのでしょうか？
例えば、「○○の定義」等。
また、この定義はどのようにして導出されるのですか？

> で定義されます. 全て複素数体 $2$\mathbb{C}$ から $2$\mathbb{C}$ への写像で, well-definedです. (つまり右辺の級数は各点 $2$x\in \mathbb{C}$ で(絶対)収束するということ.)
> この確認は必要ですが, 省略します.

この辺りの説明が理解が追いつかず、よくわからないのですが、
もう少し詳しくお願いします。

それと、 $2$k$ と $2$l$ は、どのように定義されているのでしょうか？

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■40560 / inTopicNo.4)

　Re[3]: オイラーの公式

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□投稿者/ ぽけっと一般人(2回)-(2010/01/14(Thu) 13:43:28)

2010/01/14(Thu) 13:47:46 編集(投稿者)

> この定義に何か名前はあるのでしょうか？

一般的な名前はないと思います. (級数による定義といえば, 数学の知識を持つ人には通じるでしょう.)

> また、この定義はどのようにして導出されるのですか？

「定義」なので導出されるものではありません. 定義とはルールのこと. 例えば「二辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形と呼ぶ.」という定義(ルール)も何かから導出されるわけではないですよね.

ただし $2$\exp ,\sin ,\cos$ は高校までですでに, 実数から実数への写像として定義されています. そこで, 級数による定義がちゃんとその拡張になっていることを確認しといた方がいいでしょう. (前に書いたとおり, 級数の定義がちゃんと「定義になっていること」も確認しなければなりませんが, それについては後で書きます. )

一旦ちゃんと今まで使ってきた $2$\exp ,\sin ,\cos$ の拡張になっていることが確認できたら, 高校までの定義は忘れて, 級数の定義を一番の出発点にしていいわけですね. (もちろん, 高校までの定義をはじめから忘れて, はじめから級数の定義を採用してもいいですが, その場合は高校までに習った $2$\exp ,\sin ,\cos$ の性質を一から確認する必要があります. まあ多くの性質は $2$\mathbb{C}$ から $2$\mathbb{C}$ への写像と思っても成り立つので, どちらにせよ確認する必要はあるのですが. )

高校までの定義の拡張になっていることをどう確認するのか書こうと思ったのですが, やはり級数の定義がちゃんと定義になっていることの確認の方が先にやるべきことですし, 長くなりそうなので自分で考えてもらうことにします. (機会があれば書きます.)

>>で定義されます. 全て複素数体 $2$\mathbb{C}$ から $2$\mathbb{C}$ への写像で, well-definedです. (つまり右辺の級数は各点 $2$x\in \mathbb{C}$ で(絶対)収束するということ.)
>>この確認は必要ですが, 省略します.
>
> この辺りの説明が理解が追いつかず、よくわからないのですが、
> もう少し詳しくお願いします。

$2$\exp$ だけ詳しく説明します. ( $2$\sin ,\cos$ も同様なので.)
$2$\exp :\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ という写像を

$2$ \exp (x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \ \ (x\in \mathbb{C})$

で定義すると言ったわけですが, $2$\exp (x)$ がちゃんと各 $2$x\in \mathbb{C}$ で $2$\exp (x)\in \mathbb{C}$ となっているかどうかは確認する必要があります. つまり,

$2$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \in \mathbb{C}$

となること, この級数が収束すること, を確認しないといけないのです.
例えば, 写像 $2$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ を

$2$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^n \ \ (x\in \mathbb{R})$

で定める. と定義(らしきものを)しても, $2$f$ は $2$\mathbb{R}$ から $2$\mathbb{R}$ への写像になっていませんよね. たとえば $2$f(3)$ が存在しないので. つまり, 上の $2$f$ の定義らしきものは, 実は定義になっていないということです. このように定義らしいものが実は定義になっていないことを, 「well-definedでない.」と表現します. 逆にちゃんと定義になっていれば「well-definedである.」と言います.

さて, $2$\exp$ がwell-definedであることを調べましょう. つまり任意の $2$x\in \mathbb{C}$ に対し,

$2$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$

が収束することを示しましょう. これはダランベールの収束判定法を使えば簡単です.

各 $2$x\in \mathbb{C}$ に対して $2$|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} /\frac{x^n}{n!} |=| \frac{x}{n+1} |$ で, これは $2$n\to \infty$ で $2$0$ に収束します. これより級数が収束することが分かりました. (ダランベールの判定法は解析の本やネット上にあるはず. 分からなければ調べてください.) より正確には絶対収束することが分かりましたので, 和をとる順序などは適当に変えていいことも知りました.

これでちゃんと $2$\exp$ がwell-definedであることは示せました. (もちろん, まだ連続性や微分可能性などについては全く分かっていませんが. )

> それと、 $2$k$ と $2$l$ は、どのように定義されているのでしょうか？

$2$n$ について和を取っていますが, $2$n$ が偶数の場合と奇数の場合に分けて和を取りなおしただけです. 定義も何もありません.

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■40563 / inTopicNo.5)

　Re[4]: オイラーの公式

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□投稿者/ 桜花一般人(4回)-(2010/01/14(Thu) 21:48:53)

詳しい解説をありがとうございます。

大変助かりました。

解決済み!

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