 | 2010/01/16(Sat) 23:01:11 編集(投稿者)
> 1/x + 1/y + 1/z = 1/3,x + y + z = 3
> のとき,次の各値を求めなさい。
> (1)x^3 + y^3 + z^3
> (2)x^5 + y^5 + z^5
> (3)1/x^5 + 1/y^5 + 1/z^5
> (4)1/x^3 + 1/y^3 + 1/z^3
もっとスマートな計算の仕方がありそうな気もしますが・・・、
1／x＋1／y＋1／z＝1／3…①, x＋y＋z＝3…②のとき、
①より、3(xy＋yz＋zx)＝xyzとなり、
ここで、xy＋yz＋zx＝p…③とおくと、xyz＝3p…④となる。
3つの式②, ③, ④を満たす3つの数x, y, zを求める方程式は、
3次方程式の解と係数の関係より、t^3－3t^2＋pt－3p＝0…⑤となる。
⑤より、(t^2＋p)(t－3)＝0となるので、
x, y, zのどれか1つの値は3である。
ここで、x＝3とおくと、②より、y＋z＝0となるので、
y＝q(＝±√(－p))とおくと、z＝－qとなる。
ただし、3つの数x, y, zは①を満たすので、
3つの数x, y, zはいずれも0以外の数となり、q≠0である。
x＝3, y＝q, z＝－q(ただし、q≠0)を各式に代入することにより、
(1) x^3＋y^3＋z^3＝3^3＋q^3＋(－q)^3＝27＋q^3－q^3＝27
(2) x^5＋y^5＋z^5＝3^5＋q^5＋(－q)^5＝243＋q^5－q^5＝243
(3) 1／x^5＋1／y^5＋1／z^5＝1／3^5＋1／q^5＋1／(－q)^5＝1／243＋1／q^5－1／q^5＝1／243
(4) 1／x^3＋1／y^3＋1／z^3＝1／3^3＋1／q^3＋1／(－q)^3＝1／27＋1／q^3－1／q^3＝1／27
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